关于有理数的乘方 (17 22:50:1)若N为正整数,试猜想1的三次方+2的三次方+...+N的三次方等于多少?

关于有理数的乘方 (17 22:50:1)若N为正整数,试猜想1的三次方+2的三次方+...+N的三次方等于多少?
关于有理数的乘方 (17 22:50:1)
若N为正整数,试猜想1的三次方+2的三次方+...+N的三次方等于多少?

关于有理数的乘方 (17 22:50:1)若N为正整数,试猜想1的三次方+2的三次方+...+N的三次方等于多少?
任给一个正整数n,如果n为偶数,就将它变为n/2,如果除后变为奇数,则将它乘3加1（即3n+1）.不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1吗?
这角古猜想（1930）.人们通过大量的验算,从来没有发现反例,但没有人能证明.
试着任意选一个整数N,规则如下：[如果N为奇数,那么运算N*3+1； 如果N为偶数,那么运算N/2]
当得到第一个结果之后,在重复按规则运算（如果N为奇数,那么运算N*3+1 如果N为偶数,那么运算N/2）
这样一直算下去 你会发现最后数字会在一个循环圈里循环,这个循环圈是（4→2→1→4）
不信你可以去试试,建议刚开始选小点的数（100以内）,因为这个算算需要耐心.
角谷静夫是日本的一位著名学者．他提出了两条极简单的规则,可以对任何一个自然数进行变换,最终使它陷入“4－2－1”的死循环．
角谷提出的变换法则是：
1.当N是奇数时,下一步变为3N＋1；
2.当N是偶数时,下一步变为 N/2．
人们把它称为“角谷猜想”．
任举几个例子试试看：
当N是一位数6时,按规则应变为：
6→6÷2→3→3×3＋1→10→10÷2→5→5×3＋1→16→16÷2→8→8÷2→4→4÷2→2→2÷2→1→1×3＋1→4→4÷2→2→2÷2→1→……
最后落入“4－2－1”的死循环．
当N为两位数,如46,应变换为：
46→46÷2→23→23×3＋1→70→70÷2→35→35×3＋1→106→106÷2→53→53×3＋1→160→160÷2→80→8O÷2→40→40÷2→20→20÷2→10→10÷2→5→5×3＋1→16→16÷2→8→8÷2→4→4÷2→2→2÷2→1→……
又落入了“4－2－1”的死循环．
不必列举更多的例子,迄今为止,人们还没有遇到例外情况,试验过的数,最终都停留在一个永无休止的循环圈：
但是,自然数浩如烟海,对角谷猜想,目前谁也不能证明,更不能否定．
深度扩展
任给一个正整数n,如果n能被a整除,就将它变为n/a,如果除后不能再整除,则将它乘b加c（即bn+c）.不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到d吗? 对此题的答案只能有3种 ：1不一定 2一定不 3一定都
以下都是一定都的情况
一 a=b=c=d=m
二 a=m b=1 c=-1 d=0
三 a=m b=c=d=1
四 a=2 b=2^m-1 c=-1 d=1
以上（m>1)
五 a=2 b=2^m-1 c=1 d=1
六 a=2 b=c=d=2^m-1
以上m为任意自然数
最简单的情况：
a=b=c=d=2
a=2 b=1 c=1 d=1
a=2 b=1 c=-1 d=0
原题只是五的当m=2情况 据说中国有许多人会证明了原题 原题只是扩展的一个及其微小的部分
以上数据全部成立 没有一个反例 这道题非常短小 却隐含着非常丰富的数学思想的...需要用到的东西非常多 那些定理 公式都非常完美 可以表达非常普遍的数学规律 这是一个数学问题而不是什么猜想 绝对成立的 此题重在培养学生的独立思考问题的能力 以及逆向思维...
其实这道题非常简单
不知道是不是整体证法了
对以上情况的整体证法第一步：
先构造一个2元函数 这个函数揭示了一个秘密 ：把能够被a整除的全部的自然数都转化成不能被a的自然数 f(x,y) 有a
五 a=2 b=2^m-1 c=1 d=1
用数学归纳 整除规律 因式分解 自然数拆分...证明：
(2^(mn)-1)/(2^n-1)=e
当m和n为自然数时,e为奇数
m=1 A1=(1)
m=2 A2=(1,5)
m=3 A3=(1,9,11)
m=4 A4=(1,17,19,23)
m=5 A5=(1,33,35,37,39)
m=6 A6=(1,65,67,71,73,79)
...
...
...
的组合无限数列A()的通项公式 各小项都不能被2的m次方-1整除
这个组合数列是非常简单的 只是无数个等差数列的首项.

n=1时，S=1=1^2
n=2时，S=9=3^2
n=3时，S=36=6^2
……
n=n时，S=[n(n+1)/2]^2
可以根据n=1,n=2……找规律猜想：
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
证明：
2^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4=2^4+4*2^3+6*2^2+...

全部展开

n=1时，S=1=1^2
n=2时，S=9=3^2
n=3时，S=36=6^2
……
n=n时，S=[n(n+1)/2]^2
可以根据n=1,n=2……找规律猜想：
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
证明：
2^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4=2^4+4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4=3^4+4*3^3+6*3^2+4*3+1
……
(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1
N个等式相加得：
(n+1)^4-1
=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)
=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
∴1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

收起

N+N的三次方

( N+N^2)^2
(------)
( 2 )