请问这道求极限怎么写
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 22:35:55
请问这道求极限怎么写
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求极限x→0lim[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x√(1+sin²x)-x]
[分子分母同乘以√(1+tanx)+√(1+sinx)]得
原式=x→0lim(tanx-sinx)/{x[√(1+sin²x)-1][√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
=x→0lim[sinx(secx-1)]/{x[√(1+si...
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求极限x→0lim[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x√(1+sin²x)-x]
[分子分母同乘以√(1+tanx)+√(1+sinx)]得
原式=x→0lim(tanx-sinx)/{x[√(1+sin²x)-1][√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
=x→0lim[sinx(secx-1)]/{x[√(1+sin²x)-1][√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
[用等价无穷小作替换：sinx∽x，tanx∽x]
=x→0lim[x(secx-1)]/{x[√(1+x²)-1][√(1+x)+√(1+x)]}
=x→0lim(secx-1)/{[√(1+x²)-1][2√(1+x)]}
[分子分母同乘以secx+1]
=x→0lim(sec²x-1)/[√(1+x²)-1][2√(1+x)](secx+1)]
[分子分母同乘以√(1+x²)+1]
=x→0lim{(tan²x)[√(1+x²)+1]}/{[2x²√(1+x)](secx+1)}
作等价替换：tanx∽x]
=x→0lim{x²[√(1+x²)+1]}/{[2x²√(1+x)](secx+1)}
=x→0lim[√(1+x²)+1]/{[2√(1+x)](secx+1)}
=2/4=1/2
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