数学八上几何（2013•牡丹江）已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,如图（1）．易证BD+AB=2 CB,过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠ACE．∵四边

数学八上几何（2013•牡丹江）已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,如图（1）．易证BD+AB=2 CB,过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠ACE．∵四边
数学八上几何
（2013•牡丹江）已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,如图（1）．易证BD+AB=
2    
CB,
过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠ACE．
∵四边形ACDB内角和为360°,∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°,∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=
2    
CB．
又∵BE=AE+AB,∴BE=BD+AB,∴BD+AB=
2    
CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时,BD、AB、CB满足什么样关系式,请写出你的猜想,并对图（2）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中,当∠BCD=30°,BD=
2    
时,则CD=  CB=．

只需第二小题解题过程

数学八上几何（2013•牡丹江）已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,如图（1）．易证BD+AB=2 CB,过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠ACE．∵四边
（1）过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,证明△ACE≌△DCB,则△ECB为等腰直角三角形,据此即可得到BE=CB,根据BE=AB﹣AE即可证得；
　　（2）过点B作BH⊥CD于点H,证明△BDH是等腰直角三角形,求得DH的长,在直角△BCH中,利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半,即可求得．
　　（1）如图（2）：AB﹣BD=CB．
　　证明：过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,
　　∵∠ACD=90°,
　　∴∠ACE=90°﹣∠DCE,∠BCD=90°﹣∠ECD,
　　∴∠BCD=∠ACE．
　　∵DB⊥MN,
　　∴∠CAE=90°﹣∠AFC,∠D=90°﹣∠BFD,
　　∵∠AFC=∠BFD,
　　∴∠CAE=∠D,
　　又∵AC=DC,
　　∴△ACE≌△DCB,
　　∴AE=DB,CE=CB,
　　∴△ECB为等腰直角三角形,
　　∴BE=CB．
　　又∵BE=AB﹣AE,
　　∴BE=AB﹣BD,
　　∴AB﹣BD=CB．
　　如图（3）：BD﹣AB=CB．
　　证明：过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,
　　∵∠ACD=90°,
　　∴∠ACE=90°+∠ACB,∠BCD=90°+∠ACB,
　　∴∠BCD=∠ACE．
　　∵DB⊥MN,
　　∴∠CAE=90°﹣∠AFB,∠D=90°﹣∠CFD,
　　∵∠AFB=∠CFD,
　　∴∠CAE=∠D,
　　又∵AC=DC,
　　∴△ACE≌△DCB,
　　∴AE=DB,CE=CB,
　　∴△ECB为等腰直角三角形,
　　∴BE=CB．
　　又∵BE=AE﹣AB,
　　∴BE=BD﹣AB,
　　∴BD﹣AB=CB．
　　（2）如图（1）,过点B作BH⊥CD于点H,
　　∵∠ABC=45°,DB⊥MN,
　　∴∠CBD=135°,
　　∵∠BCD=30°,
　　∴∠CBH=60°,
　　∴∠DBH=75°,
　　∴∠D=15°,
　　∴BH=BD•sin45°,
　　∴△BDH是等腰直角三角形,
　　∴DH=BH=BD=×=1,
　　∵∠BCD=30°
　　∴CD=2DH=2,
　　∴CH==,
　　∴CB=CH+BH=+1；