一道很弱智的初中奥数题我们知道,正三角形ABC,G是三角形ABC的重心,则角BGC=120度.请你证一下它的逆命题：已知三角形ABC,角A=60度,G是三角形ABC的重心,角BGC=120度,求证三角形ABC是正三角形.今晚
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 22:06:31
一道很弱智的初中奥数题我们知道,正三角形ABC,G是三角形ABC的重心,则角BGC=120度.请你证一下它的逆命题：已知三角形ABC,角A=60度,G是三角形ABC的重心,角BGC=120度,求证三角形ABC是正三角形.今晚
一道很弱智的初中奥数题
我们知道,正三角形ABC,G是三角形ABC的重心,则角BGC=120度.请你证一下它的逆命题：已知三角形ABC,角A=60度,G是三角形ABC的重心,角BGC=120度,求证三角形ABC是正三角形.
今晚要交此题,若答案正确,再追加50分.
一道很弱智的初中奥数题我们知道,正三角形ABC,G是三角形ABC的重心,则角BGC=120度.请你证一下它的逆命题：已知三角形ABC,角A=60度,G是三角形ABC的重心,角BGC=120度,求证三角形ABC是正三角形.今晚
设a=BC,b=AC,c=AB
延长CG交AB于D,延长BG交AC于E,显然D、E分别为AB、AC中点,
容易证明BG=2BE/3,CG=2CD/3
BE²=AB²+AE²-2cos∠A*AB*AE=c²+(b/2)²-2*1/2*c*b/2=(b²-2bc+4c²)/4
所以BG²=4/9*BE²=(b²-2bc+4c²)/9
同理可得CG²=(4b²-2bc+c²)/9
而BC²=AB²+AC²-2*cos∠A*AB*AC=b²-bc+c²
cos∠BGC=cos120°=-1/2
BC²=BG²+CG²-2cos∠BGC*BG*CG=BG²+CG²+BG*CG
b²-bc+c²=(b²-2bc+4c²)/9+(4b²-2bc+c²)/9+1/9*√(b²-2bc+4c²)*√(4b²-2bc+c²)
9(b²-bc+c²)-(b²-2bc+4c²)-(4b²-2bc+c²)=√(b²-2bc+4c²)*√(4b²-2bc+c²)
4b²-5bc+4c²=√(b²-2bc+4c²)*√(4b²-2bc+c²)
(4b²-5bc+4c²)²=(b²-2bc+4c²)*(4b²-2bc+c²)
16b^4+25b²c²+16c^4-40b³c-40bc³+32b²c²=4b^4-2b³c+b²c²-8b³c+4b²c²-2bc³+16b²c²-8bc³+4c^4
16b^4+25b²c²+16c^4-40b³c-40bc³+32b²c²==4b^4-10b³c+21b²c²-10bc³+4c^4
12b^4-30b³c+36b²c²-30b³c+12c^4=0
2b^4-5b³c+6b²c²-5b³c+2c^4=0
2(b^4-2bc+c^4)-5bc(b²-2bc+c²)=0
2(b²-c²)²-5bc(b-c)²=0
2(b+c)²(b-c)²-5bc(b-c)²=0
(b-c)²(2b²+4bc+2c²-5bc)=0
(b-c)²(2b²+bc+2c²)=0
2b²+bc+2c²=(b+c)²/2+3(b²+c²)/2>0
所以(b-c)²=0
所以b=c
又∠A=60°
所以△ABC为正三角形
∵G为△ABC的重心 ∴AN⊥于BC，BH⊥于AC，CM⊥AB ∵角A=60° ∴角HBA=30° 又∵角GMB=90° ∴角BGM=60° 同理,∠ABH=∠ACM=30° ∴∠MGB=∠HGC=60° ∵AG=AG，∠AHG=∠AMG ∴△AHG=△AMG（HL） ∴∠GAM=∠GAH ∠AGM=∠AGH 又∵∠GAM=∠GAH ，∠AGM=∠AGH，∠MGB=∠HGC=60° AC=AC ∴△AGC≌△AGB ∴CG=GB 又∵角BGC=120度 ∴∠GCB=∠GBC=30° 又∵∠ABH=∠ACM=30°，∠BAC=60° 所以三角形ABC是正三角形 ■ 弄成最佳答案嘛~打字很辛苦的~还给你特意画了图的~
是中心了不是正三角形么？
是中心，因为bgc是360的1/3，而120的确是360的1/3，所以是呗
设AC=2b 注意到△GEC∽△AFC(因为∠CGE=60°=∠A) 于是，设相似比为k(大比小),则CF=kEC=kb,GC=AC/k=2b/k, 由CG:GF=2:1,可以解得k=根号3. 所以CF=(根号3)b,CF:AC=(根号3)/2. 又因为∠A=60°,所以∠CFA=90°， 所以AC=BC，所以三角形ABC等边。