应用题,要造一个容积为32π立方厘米的圆形容器,其侧面与上底面用同一种材料,下底面用另一种材料,已知下底面材料每平方厘米的价格为3元,侧面材料每平方厘米价格为1元,问该容器的底面半
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/30 18:42:58
应用题,要造一个容积为32π立方厘米的圆形容器,其侧面与上底面用同一种材料,下底面用另一种材料,已知下底面材料每平方厘米的价格为3元,侧面材料每平方厘米价格为1元,问该容器的底面半
应用题,
要造一个容积为32π立方厘米的圆形容器,其侧面与上底面用同一种材料,下底面用另一种材料,已知下底面材料每平方厘米的价格为3元,侧面材料每平方厘米价格为1元,问该容器的底面半径r与高h各为多少时,造这个容器所用的材料费用最省?
应用题,要造一个容积为32π立方厘米的圆形容器,其侧面与上底面用同一种材料,下底面用另一种材料,已知下底面材料每平方厘米的价格为3元,侧面材料每平方厘米价格为1元,问该容器的底面半
总的费用W=3πR^2+πR^2+2πR=4πR^2+2πR*H （1）;
应为V=3πR^2*H=32π （2）;
然后讲（2）带入 （1）在求导就可求出来.
此题考点是条件极值.应用拉格朗日乘子法作答.
材料费用P=3πr^2+(2πrh+πr^2),限制在约束πr^2h=32π
构造拉格朗日函数L=3πr^2+(2πrh+πr^2)-a(πr^2h-32π)
依次求导得到：8πr+2πh-2πah=0(对r求导）
2πr-aπr^2=0（对h求导）
πr^2h=32π
由上面三个式子，可以求得r=sqr...
全部展开
此题考点是条件极值.应用拉格朗日乘子法作答.
材料费用P=3πr^2+(2πrh+πr^2),限制在约束πr^2h=32π
构造拉格朗日函数L=3πr^2+(2πrh+πr^2)-a(πr^2h-32π)
依次求导得到：8πr+2πh-2πah=0(对r求导）
2πr-aπr^2=0（对h求导）
πr^2h=32π
由上面三个式子，可以求得r=sqrt(2sqrt(5)-2),h=32/(2sqrt(5)-2)
这个就是所求最优解。
收起
显然用重要不等式比用求导简单的多，做题嘛，何必要限于具体的那一种方法？能简单快捷地作出来，不好吗？