简单的线性代数题,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 00:32:08
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手头只有平板,没法传照片,就用编程式的符号表示了.这里lamuda用a表示.逗号隔断同行元素,分号表示换至下一行.A^n表示矩阵A的n次方.C(m,n)表示组合数,即从m个中选n个所有组合的个数.*表示乘号.
如果不懂,欢迎追问,或者回复让我晚上再传上照片.
首先把A拆成两个矩阵的和,一个为A的对角线元素构成的对角阵,一个为A除了对角线元素剩下的部分.分别设为矩阵B和矩阵D,即,
A=[a,1,0;0,a,1;0,0,a]=[a,0,0;0,a,0;0,0,a]+[0,1,0;0,0,1;0,0,0]=B+D
然后,利用二项式定理.
A^n=(B+D)^n=C(n,0)*B^n*D^0+C(n,1)*B^(n-1)*D^1+C(n,2)*B^(n-2)*D^2+...+C(n,n)*B^0*D^n
下一步,要注意,D^2=[0,0,1;0,0,0;0,0,0],D^3=0.从而D的三次以上的乘方都为零矩阵.
所以,上展开式只剩下前三项.
把各项乘起来加和就得结果,过程不写了,提供一个我自己的答案.
A^n=[a^n,n*a^(n-1),n*(n-1)/2*a^(n-2);0,a^n,n*a^(n-1);0,0,a^n]
即A为上三角矩阵,主对角线方向元素都相等.
看你还没有采纳,我再上个图,上下结合着看吧,这是很经典的分拆法,考研题常考.
欢迎追问,欢迎指正错误,
先算A^2 ,然后A^3,再找规律就行了