如何证明1/1^2+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2＜2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 12:25:06
如何证明1/1^2+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2＜2
如何证明1/1^2+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2＜2
如何证明1/1^2+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2＜2
首先,我们对原式进行放大,操作如下
1/n^2=1/(n*n)＜1/[(n-1)*n]=1/(n-1)-1/n；
我们按照上面的方法,从原式的第二项开始展开
原式=1/1^2+1/2^2+1/3^2+……1/n^2
< 1 + (1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + …… + [1/(n-1)-1/n]
= 1 + 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 …… - 1/(n-1) + 1/(n-1) - 1/n
= 2 - 1/n
< 2
证毕
可以这样证明:
1/n^2 < (1/n-1)*(1/n)=1:(n-1) - 1:n, (n>=2)
那么原式子等于 1 + （1-1/2）+（1/2-1/3）....+(1/n-1 -1/n)
=1+1-1/n<2
不等式放缩技巧，要注意哦！
【注：当n≥2时，有n²＞n(n-1)＞0.===>0＜1/n²＜1/[n(n-1)]=[1/(n-1)]-(1/n).即当n≥2时,有1/n²＜[1/(n-1)]-(1/n).(n=2,3,4,...)】证明：易知，1/2²＜1-(1/2),1/3²＜(1/2)-(1/3),1/4²＜(1/3)-(1/4),...1/(n-1)&sup...
全部展开
【注：当n≥2时，有n²＞n(n-1)＞0.===>0＜1/n²＜1/[n(n-1)]=[1/(n-1)]-(1/n).即当n≥2时,有1/n²＜[1/(n-1)]-(1/n).(n=2,3,4,...)】证明：易知，1/2²＜1-(1/2),1/3²＜(1/2)-(1/3),1/4²＜(1/3)-(1/4),...1/(n-1)²＜[1/(n-2)]-[1/(n-1)],1/n²＜[1/(n-1)]-(1/n).求和∑（1/n²)=1+(1/2²)+(1/3²)+...+(1/n²)＜1+1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+...+[1/(n-1)]-(1/n)=2-(1/n)＜2.即∑(1/n²)＜2.
收起