正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①）,猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 03:18:57
正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①）,猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（
正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①）,猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②）,探究（1）中的结论是否成立?若成立,写出证明过程；若不成立,请说明理由；
（3）当点P在DB的长延长线上时,请将图③补充完整,并判断（1）中的结论是否成立?若成立,直接写出结论；若不成立,请写出相应的结论．
正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①）,猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（
第一个问题：
AP＝EF. 证明如下：
∵ABCD是正方形,∴OA＝OC、EC⊥FC,而O、P重合,∴PA＝PC.
∵PE⊥EC、EC⊥FC、PF⊥FC,∴PECF是矩形.
∵ABCD是正方形,∴PC是∠ECF的平分线,而PE⊥EC、PF⊥FC,∴PE＝PF,
∴矩形PECF是正方形,∴PC＝EF.
由AP＝PC、PC＝EF,得：AP＝EF.
第二个问题：
AP＝EF是成立的. 证明如下：
∵PE⊥EC、PF⊥FC、EC⊥FC,∴PECF是矩形,∴PC＝EF.
∵ABCD是正方形,∴AD＝CD、∠ADP＝∠CDP＝45°、PD＝PD,∴△ADP≌△CDP,
∴AP＝PC.
由PC＝EF、AP＝PC,得：AP＝EF.
第三个问题：
AP＝EF也是成立的. 证明如下：
显然有：FC⊥CE,又PE⊥CE、PF⊥FC,∴PECF是矩形,∴PC＝EF.
∵ABCD是正方形,∴AB＝CB、∠ABD＝∠CBD＝45°,∴∠ABP＝∠CDP.
由AB＝CB、∠ABP＝∠CBP、BP＝BP,得：△ABP≌△CBP,∴AP＝PC.
由AP＝PC、PC＝EF,得：AP＝EF.