在三角形ABC中,角B等于90度,角C等于30度,P为三角形内部一点,且PA=√3,PB=2,PC=5,求三角形ABC的面积不好意思 应是角C等于90度，角B等于30度
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 10:58:53
在三角形ABC中,角B等于90度,角C等于30度,P为三角形内部一点,且PA=√3,PB=2,PC=5,求三角形ABC的面积不好意思 应是角C等于90度，角B等于30度
在三角形ABC中,角B等于90度,角C等于30度,P为三角形内部一点,且PA=√3,PB=2,PC=5,求三角形ABC的面积
不好意思 应是角C等于90度，角B等于30度
在三角形ABC中,角B等于90度,角C等于30度,P为三角形内部一点,且PA=√3,PB=2,PC=5,求三角形ABC的面积不好意思 应是角C等于90度，角B等于30度
解法一：过点P,分别作出关地AC,BC,AB的对称点D,E,F.
由∠ACB=90度可知D,C,E三点在同一条直线上,DE=2PC=4
由∠ABC=30度可知△BFE为有一个角为60度的等腰三角形,所以它为边长为5的等边三角形
由∠CAB＝60度可知△AFD为顶角为120度的等腰三角形,由AF=AD=AP=√3可求出DF=3
在△EFD中,DF=3,DE=4,EF=5可知△EFD为直角形.
所以S（△ABC）=〔S（△AFD）+S（△EFD）+S（△EFB）〕/2
=（3*√3+3*4+5*5√3/2）/4
=（6+7√3）/2
解法二：从p点做AC的垂线,垂足为M,做BC的垂线,垂足为M,设PM=x,AM=y.AC=a
则有：AB=2a,BC=√3a.
根据题意△AMP,△PNC,△PNB都为直角三角形,根据勾股定理可有以下几个等式：
x^2+y^2=3.(1)
x^2+(a-y)^2=4.(2)
(a-y)^2+(√3a-x)^2=25.(3)
（2）-(1)得到：(a-y)^2-y^2＝1
解得：y=(a^2+1)/2a.(4)
（3）-（2得到：(√3a-x)^2-x^2＝2
解得：x=√3(a^2-7)/2a.(5)
把(4)和(5)代入到（1）得到：
〔√3(a^2-7)/2a〕^2+〔(a^2+1)/2a〕^2=3
化简整理后可得：
a^4-14a^2+37=0
a^2=7+2√3.
或a^2=7-2√3.(这时斜边等于2a,斜边的平方等于4a^2＜25,也就是说这时斜边小于5,因此不可能在这个三角形内部做出一条边长为5的线段,所以应当舍去)
S（△ABC）=√3a^2/2=(√3/2)a^2=(6+7√3)/2.
总的方法就是用面积相等来求，将大的分成三个
分别作出点P关于三边的三个对称点，与三个顶点连接，得到边长分别为根号3，根号3，4，5，5为边的五边形，利用三个对称点之间的连线将五边形分成一个以5为边长的等边三角形，一个以根号3为腰长的等腰三角形，一个以3，4，5为边长的直角三角形，这三个三角形有面积和就是原直角三角形的面积的2倍....
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分别作出点P关于三边的三个对称点，与三个顶点连接，得到边长分别为根号3，根号3，4，5，5为边的五边形，利用三个对称点之间的连线将五边形分成一个以5为边长的等边三角形，一个以根号3为腰长的等腰三角形，一个以3，4，5为边长的直角三角形，这三个三角形有面积和就是原直角三角形的面积的2倍.
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