求下列级数收敛与否 若收敛 求和
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 03:53:02
求下列级数收敛与否若收敛求和求下列级数收敛与否若收敛求和求下列级数收敛与否若收敛求和我们用数学归纳法证明arctan(n/(n+2))=arctan(1/3)+...+arctan(1/(n²
求下列级数收敛与否 若收敛 求和
求下列级数收敛与否 若收敛 求和
求下列级数收敛与否 若收敛 求和
我们用数学归纳法证明arctan(n/(n+2))=arctan(1/3)+...+arctan(1/(n²+n+1)).
n=1时易见成立.假设n=k时成立,则对n=k+1.
arctan(1/3)+...+arctan(1/(n²+n+1))=arctan((n-1)/(n+1))+arctan(1/(n²+n+1)).
两个角均 < π/4,和 < π/2,而算得tan(arctan((n-1)/(n+1))+arctan(1/(n²+n+1)))
=((n-1)/(n+1)+1/(n²+n+1))/(1-1/(n²+n+1)*(n-1)/(n+1))
=(n³+n)/(n³+2n²+n+2)=n/(n+2).n=k+1时也成立.于是命题对全体正整数成立.
当n趋于无穷,部分和arctan(n/(n+2))收敛到arctan(1)=π/4.