离散数学 第八章 函数设f:R×R→R×R,f()=,证明f是双射的

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 17:23:42
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离散数学 第八章 函数设f:R×R→R×R,f()=,证明f是双射的
离散数学 第八章 函数
设f:R×R→R×R,f()=<(x+y)/2,(x-y)/2>,证明f是双射的

离散数学 第八章 函数设f:R×R→R×R,f()=,证明f是双射的
离散数学搞不懂,就双射里面的单射来说,可以证明
  对于两个不同的点,(x1,y1)(x2,y2),x1≠x2,y1≠y2,
  映射为
  (x1/2+y1/2,x1/2-y1/2) ,(x2/2+y2/2,x2/2-y2/2)
  若这两个点重合,需满足
  x1+y1=x2+y2
  x1-y1=x2-y2
  两式相加,得到x1=x2
  与题设x1≠x2矛盾.
  若两个点为(x1,y1)(x2,y2),x1=x2,y1≠y2,(x1≠x2,y1=y2,与此类似)
  则映射为(x1/2+y1/2,x1/2-y1/2) ,(x2/2+y2/2,x2/2-y2/2)
  若重合需满足,
  x1+y1=x1+y2
  x1-y1=x1-y2
  即y1=y2,与题设相反,所以为单射
  综上,函数为单射.
  至于满射,
  不过由于函数是定义在整个实数平面上,且由于映射x+y)/2,(x-y)/2的值域都是整个实数域,所以可以想象出映射确实是满射的,怎么证就不会了.

先证是单射,再证是满射

楼上正解,采纳吧。