已知动点M（x,y）与两个定点F1（-1,0）,F2（1,0）满足|向量MF1|=2|向量MF2| （1）求点M的轨迹方程 （2）（2）m为何值时直线mx+y-2m-1=0被点M的轨迹截得的弦长最短?最短的弦长为多少?补充：只用解答
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 04:34:01
已知动点M（x,y）与两个定点F1（-1,0）,F2（1,0）满足|向量MF1|=2|向量MF2| （1）求点M的轨迹方程 （2）（2）m为何值时直线mx+y-2m-1=0被点M的轨迹截得的弦长最短?最短的弦长为多少?补充：只用解答
已知动点M（x,y）与两个定点F1（-1,0）,F2（1,0）满足|向量MF1|=2|向量MF2| （1）求点M的轨迹方程 （2）
（2）m为何值时直线mx+y-2m-1=0被点M的轨迹截得的弦长最短?最短的弦长为多少?
补充：只用解答第二问,提供第一二问答案
（1）（x-5/3）^2+y^2=16/9
（2）最短弦长为 三分之二倍根号六
已知动点M（x,y）与两个定点F1（-1,0）,F2（1,0）满足|向量MF1|=2|向量MF2| （1）求点M的轨迹方程 （2）（2）m为何值时直线mx+y-2m-1=0被点M的轨迹截得的弦长最短?最短的弦长为多少?补充：只用解答
(1) 向量MF1=(-1-x,-y) 向量MF2=(1-x,y)
已知|向量MF1|=2|向量MF2|
即√[(-1-x)^2+(-y)^2]=2√[(1-x)^2+(-y)^2]
化为x^2-(10/3)x+y^2+1=0 (1)
即(x-5/3)^2+y^2=16/9
圆心C(5/3,0)
(2) 直线l:y=-mx+2m+1过定点A(2,1)
斜率k=-m
AC的斜率k'=(1-0)/(2-5/3)=3
最短弦必定满足AC垂直于直线l
即k*k'=-1 3*(-m)=-1 m=1/3
于是y=-(1/3)x+2/3+1 x+3y-5=0
C到直线l的距离d=I5/3-5I/√(1+9)=√10/3
所以弦长=2√(r^2-d^2)=2√(16/9-10/9)=2√6/3
直线L： mx+y-2m-1=0化为 m（x-2）+y-1=0，可知过定点A（2，1）.
（x-5/3）^2+y^2=16/9 圆心C（5/3，0）.显然当且仅当CA 垂直于直线 L时截得的弦长最短，m=1/3.