求一道关于抛物线及椭圆的数学题,已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,M,N是椭圆上的动点.设动点P满足：向量OP=向量OM+2向量ON,直线OM与ON的斜率之积为-1/2,证明：存在定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值,并求出F1,F2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 02:51:07
求一道关于抛物线及椭圆的数学题,已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,M,N是椭圆上的动点.设动点P满足：向量OP=向量OM+2向量ON,直线OM与ON的斜率之积为-1/2,证明：存在定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值,并求出F1,F2
求一道关于抛物线及椭圆的数学题,
已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,M,N是椭圆上的动点.设动点P满足：向量OP=向量OM+2向量ON,直线OM与ON的斜率之积为-1/2,证明：存在定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值,并求出F1,F2的坐标.
求一道关于抛物线及椭圆的数学题,已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,M,N是椭圆上的动点.设动点P满足：向量OP=向量OM+2向量ON,直线OM与ON的斜率之积为-1/2,证明：存在定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值,并求出F1,F2
设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y)
则x²1/4+y²1/2=1,x²2/4+y²2/2=1
∵直线OM与ON的斜率之积为-1/2
∴y1/x1*y2/x2=-1/2
∴x1x2=-2y1y2
∵动点P满足向量OP=向量OM+2向量ON
∴(x,y)=(x1+2x2,y1+2y2)
∴x=x1+2x2 ①
,y=y1+2y2 ②
①两边同时除以√2：
x/√2=x1/√2+√2x2 ③
③²+②²:
x²/2+y²=x²1/2+y²1+2x²2+4y²2+2x1x2+4y1y2
=2(x²1/4+y²1/2 )+8(x²2/4+y²2/2)-4y1y2+4y1y2
=2*1+8*1=10
∴x²/20+y²/10=1
∴P点轨迹是椭圆,焦点F1'(-√10,0),F2'(√10,0)
∴存在2个定点F1'(-√10,0),F2'(√10,0)使
|PF1'|+|PF2'|=4√5 为定值