一道高中的关于椭圆数学题椭圆内连接两个焦点的三角形的面积有一个公式 是什么?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/01 06:25:12
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一道高中的关于椭圆数学题
椭圆内连接两个焦点的三角形的面积有一个公式 是什么?

一道高中的关于椭圆数学题椭圆内连接两个焦点的三角形的面积有一个公式 是什么?
运用公式
设P为椭圆上的任意一点,
角F1F2P=α ,F2F1P=β,F1PF2=θ,
则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ),
焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2).
证明方法一
设F1P=m ,F2P=n ,2a=m+n,
由射影定理得2c=mcosβ+ncosα,
e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n),
由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）.
证明方法二
对于焦点△F1PF2,设PF1=m,PF2=n
则m+n=2a
在△F1PF2中,由余弦定理:
(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ
即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)
所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2
所以mn=2b^2/(1+cosθ)
S=(mnsinθ)/2.(正弦定理的三角形面积公式)
=b^2*sinθ/(1+cosθ)
=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2
=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)
=b^2*tan(θ/2)

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