平面几何超级难题,在三角形ABC中,BE为∠B的平分线,CF为∠C的平分线且BE=CF,求证AB=AC请各路高手证明(不许用反证法)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/16 18:05:13
平面几何超级难题,在三角形ABC中,BE为∠B的平分线,CF为∠C的平分线且BE=CF,求证AB=AC请各路高手证明(不许用反证法)
平面几何超级难题,
在三角形ABC中,BE为∠B的平分线,CF为∠C的平分线且BE=CF,求证AB=AC
请各路高手证明(不许用反证法)
平面几何超级难题,在三角形ABC中,BE为∠B的平分线,CF为∠C的平分线且BE=CF,求证AB=AC请各路高手证明(不许用反证法)
这个是Steiner-Lehmas定理
用到字母ABCEF,缺D,这是暗示需做AD这条平分∠A的辅助线!
从3条角平分线的交点(三角形的内心)向3边做垂线,将整个三角形分成6个直角三角形,然后设法证明顶角包含B、C的4个三角形全等,可得∠B=∠C,即AB=AC
斯坦纳—雷米欧斯定理
此定理在700年前提出,300年前获证
方法很多:
解析几何法
正弦定理法(又称三角法)(最佳)
夹逼法
向量法
还有就是我自创的(解析三角法):
因为DC=BE
所以DC/BC=BE/BC
即SinB/Sin(B+C/2)=SinC/Sin(C+B/2)
解此方程得角B=角C
即...
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斯坦纳—雷米欧斯定理
此定理在700年前提出,300年前获证
方法很多:
解析几何法
正弦定理法(又称三角法)(最佳)
夹逼法
向量法
还有就是我自创的(解析三角法):
因为DC=BE
所以DC/BC=BE/BC
即SinB/Sin(B+C/2)=SinC/Sin(C+B/2)
解此方程得角B=角C
即AB=AC
另外说一点:此题特殊,反证法证明更难
收起
证明: 过E作EP平行FC交BC的延长线于P
有四边形FCPE为平行四边形
因此有∠P=∠BCF, FC=EP
又因为BE=CF
所以有BE=EP
又因为等边对等角
...
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证明: 过E作EP平行FC交BC的延长线于P
有四边形FCPE为平行四边形
因此有∠P=∠BCF, FC=EP
又因为BE=CF
所以有BE=EP
又因为等边对等角
所以有∠EBC=∠p
即∠EBC=∠FCB
又因为BE为∠B的平分线,CF为∠C的平分线
所以有∠ABC=∠ACB
即AB=AC
收起
设BE和CF的交点Q
过Q分别向AB,AC与BC作垂线
垂足依次设为G,H,I(顺序别搞错)
由角平分上的点到角两边距离相等
可知
G Q = I Q,H Q = I Q
C Q=H Q(等量代换)
于是RtAGQ与RtAHQ全等(H.L)
因为RtAIB与AGQ相似(一个直角加个公共角)
同理AIC和AHQ也相似
所...
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设BE和CF的交点Q
过Q分别向AB,AC与BC作垂线
垂足依次设为G,H,I(顺序别搞错)
由角平分上的点到角两边距离相等
可知
G Q = I Q,H Q = I Q
C Q=H Q(等量代换)
于是RtAGQ与RtAHQ全等(H.L)
因为RtAIB与AGQ相似(一个直角加个公共角)
同理AIC和AHQ也相似
所以角ABC=角ACB
所以AB=AC。
收起