已知BC为半圆的直径,O为圆心,D是弧AC的中点,四边形ABCD对角线AC,BD交于点E,且BC=5／2,CD=√5／2求弦AB的长
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 03:46:01
已知BC为半圆的直径,O为圆心,D是弧AC的中点,四边形ABCD对角线AC,BD交于点E,且BC=5／2,CD=√5／2求弦AB的长
已知BC为半圆的直径,O为圆心,D是弧AC的中点,四边形ABCD对角线AC,BD交于点E,且BC=5／2,CD=√5／2
求弦AB的长
已知BC为半圆的直径,O为圆心,D是弧AC的中点,四边形ABCD对角线AC,BD交于点E,且BC=5／2,CD=√5／2求弦AB的长
∵〈BDC=90°,（半圆上圆周角是直角）,
∴根据勾股定理,BD=√（BC^2-CD^2)=√5,
∵D是AC弧中点,
∴AD=CD=√5/2,
∴〈DBC=〈ABD,
∵〈DAC=〈DBC,（同弧圆周角相等）,
∴〈DAE=〈DBC=〈ABD,
∵〈ADE=〈BDA,（公用角）,
∴△ADE∽BDA,
∴AD/BD=DE/AD,
AD^2=BD*DE,
DE=(√5/2）^2/√5=√5/4,
BE=BD-DE=3√5/4,
根据勾股定理,
CE^2=DE^2+CD^2,
CE=5/4,
∵〈ABD=〈ACD,（同弧圆周角相等）,
〈AEB=〈DEC,（对顶角相等）,
∴△ABE∽△DCE,
CE/BE=CD/AB,
（5/4）/（3√5/4）=（√5/2）/AB,
∴AB=3/2.
（1）∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；
（2）∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
∵∠BDC=90°，BC=5，CD=5，
∴BD²=BC²-CD²=根号5
∴sin∠AEB=sin∠DCB=BD/BC=（根号5）...
全部展开
（1）∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；
（2）∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
∵∠BDC=90°，BC=5，CD=5，
∴BD²=BC²-CD²=根号5
∴sin∠AEB=sin∠DCB=BD/BC=（根号5）/5
（3）∵D为AC的中点，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ADB=∠ACD，
∴∠DCE=∠DBC，
∵∠CDE=∠DCB，
∴△DCE∽△DBC，
∴DC/DB=DE/DC
∴DE=DC²/DB=根号5/2
BE=（3根号5）/2
∴AB=BE•sin∠AEB=（3根号5）/4 •（2根号5）/5=1.5
收起
如图，由已知BC为半圆的直径，D是弧AC的中点 得∠BDC=90°，∠ABD=∠DBC=α，AD=DC=√5／2 ∠BAC=90° ∴在Rt△BDC中 sinα=DC/BC=(√5／2)/(5／2)=(√5)/5 在Rt△BAC中 cos(2α）=AB/BC AB=BC*cos(2α）=BC*(1-2(sinα)²) AB=5/2(1-2((√5)/5)²)=5/2(1-10/25)=3/2=1.5