一道初中等腰三角形题如图,也可以 不用看图在三角形ABC中,BD,CE是角平分线,即
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 14:37:35
一道初中等腰三角形题如图,也可以 不用看图在三角形ABC中,BD,CE是角平分线,即
一道初中等腰三角形题
如图,也可以 不用看图
在三角形ABC中,BD,CE是角平分线,
即
一道初中等腰三角形题如图,也可以 不用看图在三角形ABC中,BD,CE是角平分线,即
这就是著名的斯坦纳--莱默斯定理.1840年,莱默斯[C.L.Lehmus]在给斯图姆[C.Sturm]的一封信中提出的,他请求给出一个纯几何的证明,斯图姆向许多数学家提到此问题.首先回答的是瑞士大几何学家斯坦纳[J.Steiner].后来该定理就以斯坦纳--莱默斯定理定理而闻名于世.在1965年的一篇报道中提到该定理约有60多种证法.下面给出两种证法.
己知 在△ABC中,BE,CF是∠B,∠C的平分线,BE=CF.求证:AB=AC.
证法一 设AB≠AC,不妨设AB>AC,这样∠ACB>∠ABC,从而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBF.
在△BCF和△CBE中,因为BC=BC, BE=CF,∠BCF>∠CBE.
所以 BF>CE. (1)
作平行四边形BEGF,则∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF,连CG,
故△FCG为等腰三角形,所以∠FCG=∠FGC.
因为∠FCE>∠FGE,所以∠ECG<∠EGC.
故得 CE>EG=BF. (2)
显然(1)与(2)是矛盾的,故假设AB≠AC不成立,于是必有AB=AC.
证法二 在△ABC中,假设∠B≥∠C,则可在CF上取一点F',使∠F'BE=∠ECF',这有CF≥CF'.
延长BF'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'F',有ΔA'BE∽ΔA'CF'.
从而A'B/A'C=BE/CF'≥BE/CF=1.
那么在△A'BC中,由A'B≥A'C,得:
∠A'CB≥∠A'BC,即∠C≥(∠B+∠C)/2,故∠B≤∠C.
再由假设∠B≥∠C,即有∠B=∠C.
所以△ABC为等腰三角形.
因为BD、CE是角平分线
所以 ∠ABD=∠CBD
∠BCE=∠ACE
又因为 BD=CE
则三角形ACE≌三角形ABD
所以B=AC
1.可以反正法：假设AB=AC时候点D、E在AC、AB上
由于AB=AC那么∠B=∠C
在由于BD、CE为角平分线
所以得出BD=CE
即AB=AC为真命题即AB=AC成立
2.证明：由于BD、CE为角平分线
知：∠ABD=∠CBD
∠BCE=∠ACE
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1.可以反正法：假设AB=AC时候点D、E在AC、AB上
由于AB=AC那么∠B=∠C
在由于BD、CE为角平分线
所以得出BD=CE
即AB=AC为真命题即AB=AC成立
2.证明：由于BD、CE为角平分线
知：∠ABD=∠CBD
∠BCE=∠ACE
又由： BD=CE
得三角形ACE≌三角形ADB
得AB=AC
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