已知等腰梯形ABCD中,AB=CD,AD//BC,点E、F、G分别在边AB、BC、CD上,AE=GF=GC1、当角FGC=2倍的角EFB时,求证：四边形AEFG是矩形.请一定要运用【角FGC=2倍的角EFB】原理
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 21:08:53
已知等腰梯形ABCD中,AB=CD,AD//BC,点E、F、G分别在边AB、BC、CD上,AE=GF=GC1、当角FGC=2倍的角EFB时,求证：四边形AEFG是矩形.请一定要运用【角FGC=2倍的角EFB】原理
已知等腰梯形ABCD中,AB=CD,AD//BC,点E、F、G分别在边AB、BC、CD上,AE=GF=GC
1、当角FGC=2倍的角EFB时,求证：四边形AEFG是矩形.
请一定要运用【角FGC=2倍的角EFB】原理
已知等腰梯形ABCD中,AB=CD,AD//BC,点E、F、G分别在边AB、BC、CD上,AE=GF=GC1、当角FGC=2倍的角EFB时,求证：四边形AEFG是矩形.请一定要运用【角FGC=2倍的角EFB】原理
设角FGC为X,
因为FG=CG,
所以 角B=角GFC=角GCF=(180-X)/2即90-1/2X,
因为角BFE=1/2X,
所以角B+角GFC=90,
即角EFG=90
又有角AEF=角B+角BFE=90,
所以AE平行且等于FG,又角AEF=90,所以四边形AEFG是矩形
证明：
等腰梯形ABCD，有∠ABC=∠DCF
又GF=CG
所以∠GFC=∠DCF=∠ABC
GF‖AB，AE=GF
所以AEFG为平行四边形
又∠AEF=180°-∠ABC-∠EFB，∠EFG=180°-∠GFC-∠EFB
∠AEF+∠EFG=180°
所以：∠AEF=∠EFG=90°
所以四边形AEFG是矩形
设角FGC为X,
因为FG=CG,
所以 角B=角GFC=角GCF=(180-X)/2即90-1/2X,
因为角BFE=1/2X,
所以角B+角GFC=90,
即角EFG=90
又有角AEF=角B+角BFE=90,
所以AE平行且等于FG,又角AEF=90,所以四边形AEFG是矩形
过G点做FC的垂线，交FC于H点。
因为GF=GC,即GH垂直于FC。
角FGH=角CGH
而ABCD是等腰梯形，所以角B等于角C。
所以角FGC=角CGH
所以三角形BEF相似于三角形CHG
所以角BEF=90°=角AEF
因为GF=GC，所以在三角形GFC内有角GFC=角C
所以角B=角GFC
所以角EFB+角GFC=90...
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过G点做FC的垂线，交FC于H点。
因为GF=GC,即GH垂直于FC。
角FGH=角CGH
而ABCD是等腰梯形，所以角B等于角C。
所以角FGC=角CGH
所以三角形BEF相似于三角形CHG
所以角BEF=90°=角AEF
因为GF=GC，所以在三角形GFC内有角GFC=角C
所以角B=角GFC
所以角EFB+角GFC=90°
所以角EFG=90°
在四边形AEFG内有角AEF=EFG=90°
因此AE平行于GF
又因为AE=GF
所以四边形AEFG是平行四边形，且有直角
因此此四边形为矩形。命题得证。
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