一道高三立体几何的题目侧棱长为3的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是CC1上点,CM=2C1M,点N为BB1上的点,B1N=2BN,且异面直线AD1与MN的夹角为30°,求该正四棱柱体积与表面积.为啥∠BC1B1等于30他是异面角么？
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 02:04:11
一道高三立体几何的题目侧棱长为3的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是CC1上点,CM=2C1M,点N为BB1上的点,B1N=2BN,且异面直线AD1与MN的夹角为30°,求该正四棱柱体积与表面积.为啥∠BC1B1等于30他是异面角么？
一道高三立体几何的题目
侧棱长为3的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是CC1上点,CM=2C1M,点N为BB1上的点,B1N=2BN,且异面直线AD1与MN的夹角为30°,求该正四棱柱体积与表面积.
为啥∠BC1B1等于30他是异面角么？
一道高三立体几何的题目侧棱长为3的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是CC1上点,CM=2C1M,点N为BB1上的点,B1N=2BN,且异面直线AD1与MN的夹角为30°,求该正四棱柱体积与表面积.为啥∠BC1B1等于30他是异面角么？
过N作NE∥B1C1交CC1于E,过C1作C1F∥MN交BB1于F.
容易证得：BCEN是矩形,MNFC1是平行四边形.
∵BB1＝3,∴容易得到：EM＝1,BF＝2.
显然,AD1∥BC1,∴依题意有：BC1与MN的交角＝30°,∴∠BC1F＝30°.
设BC＝a,那么：根据勾股定理,
在Rt△NEM中,有：MN^2＝NM^2＋EM^2,∴FC1^2＝a^2＋1,得：FC1＝√（a^2＋1）.
在Rt△BB1C1中,有：BC1^2＝BB1^2＋B1C1^2,∴BC1^2＝a^2＋9,得：BC1＝√（a^2＋9）.
根据锐角三角函数定义,sin∠B1BC1＝B1C1/BC1＝a/√（a^2＋9）.
根据正弦定理,有：FC1/sin∠B1BC1＝BF/sin∠BC1F,
∴√（a^2＋1）/［a/√（a^2＋9）］＝2/sin30°＝4,∴√（a^2＋1）＝4［a/√（a^2＋9）］
两边平方,得：（a^2＋1）＝16a^2/（a^2＋9）,∴（a^2＋1）（a^2＋9）＝16a^2,
∴a^4＋10a^2＋9＝16a^2,得：a^4－6a^2＋9＝0,即：（a^2－3）^2＝0,∴a^2＝3,得：a＝√3.
于是：
正四棱柱的体积＝a^2×3＝9,正四棱柱的表面积＝2×a^2＋4×3a＝6＋12√3.
上边长为1乘以根号3 之后可以求解