三棱椎S-ABC问题已知三棱椎S-ABC中,SA,SB,SC两两互相垂直,底面ABC上一点P到三个面SAB,SAC,SBC的距离分别为根号 2,1,根号6,则PS的长度为?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/02 00:08:08
三棱椎S-ABC问题已知三棱椎S-ABC中,SA,SB,SC两两互相垂直,底面ABC上一点P到三个面SAB,SAC,SBC的距离分别为根号 2,1,根号6,则PS的长度为?
三棱椎S-ABC问题
已知三棱椎S-ABC中,SA,SB,SC两两互相垂直,底面ABC上一点P到三个面SAB,SAC,SBC的距离分别为根号 2,1,根号6,则PS的长度为?
三棱椎S-ABC问题已知三棱椎S-ABC中,SA,SB,SC两两互相垂直,底面ABC上一点P到三个面SAB,SAC,SBC的距离分别为根号 2,1,根号6,则PS的长度为?
由题意知,P不在AC上,所以可过P点引AC的平行线,此线必在面ABC中,设其与AB,BC的交点分别为D,E,易得D不在SA上,所以可过D点继续引SA的延长线,此线必在面SAB中,设其与SB的交点为F,连接EF
由此可知,D,E,F,P四点共线,可在此面内,过P点分别作PM⊥DF于M,PN⊥EF于N,连接PF,则P,M,F,N构成平面四边形
因为DE‖AC,DF‖SA,即:面DEF与面SAC中各有两条相交直线相互平行
所以面DEF‖面SAC
而SC为面SBC与面SAC的交线,EF为面SBC与面DEF的交线
所以EF‖SC
由已知:SA,SB,SC两两垂直,易证SB⊥面SAC
所以SB⊥面DEF
而SB既在面SAB,又在面SBC上
所以面DEF⊥面SAB,面DEF⊥面SBC
DF为面DEF与面SAB的交线,且面DEF中的直线PM⊥DF
所以PM⊥面SAB
所以PM为P点到面SAB的距离
由题目知,PM=√2
同理,可证PN⊥面SBC,PN为P点到面SBC的距离,由题目知,PN=√6
由条件DF‖SA,EF‖SC,SA⊥SC
可得DF⊥EF
于是,在平面四边形MPNF中,三对儿邻边相互垂直,(FM⊥PM,FN⊥FM,PN⊥FN)可知其四个内角均为直角,所以MPNF是矩形
所以NF=PM=√2
易由勾股定理求出矩形对角线PF=2√2
前方已得SB⊥面SAC,SB⊥面DEF于F
故FS为两平行面面DEF与面SAC的垂直距离
所以面DEF上的点P到面SAC上的距离必然等于FS
由已知,可得FS=1
易证SF⊥PF,所以可在Rt△SPF中,由勾股定理求得PS=3
(其实,PS的长就是题目已给三个量的平方和再开方)