求绝对值不等式性质证明(1)证明 |a+b|≤|a|+|b|(2) 证明|a+b|≥|a|-|b|谢谢!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 03:09:09
求绝对值不等式性质证明(1)证明 |a+b|≤|a|+|b|(2) 证明|a+b|≥|a|-|b|谢谢!
求绝对值不等式性质证明
(1)证明 |a+b|≤|a|+|b|
(2) 证明|a+b|≥|a|-|b|
谢谢!
求绝对值不等式性质证明(1)证明 |a+b|≤|a|+|b|(2) 证明|a+b|≥|a|-|b|谢谢!
证明：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
当a,bb-a,故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立.
当a,b=0时,IaI=0,IbI=0,那么:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|=0成立.
当a,b>0时,IaI=0,IbI=0,那么:
|a|-|b|=a-b,
Ia+bI=a+b,
|a|+|b|=a+b.而a+b>a-b,故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立.
当a0时
|a|-|b|=-a-b,
Ia+bI=a+b(|a||b|),
|a|+|b|=-a+b.
而-a+b>a+b且-a+b>-a-b,
故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立.
当a>0,b|b|)或-b-a(|a|-b-a,且a-b>a+b,
故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立.
综上所述：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立.
故：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
打的好累啊.
(a+b)²=a²+2ab+b² ≤ |a|²+2|a||b|+|b|²=(|a|+|b|)²
所以|a+b|≤|a|+|b|
-|x|≤x≤|x|
=> -2|a|·|b|≤2ab≤2|a|·|b|
=> a²+b²-2|a|·|b|≤a²+b²+2ab≤a²+b²+2|a|·|b|
=> 0≤( |a|-|b|)²≤|a+b|²≤( |a|+|b|)²
=> |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|