已知函数f(x)=In(x+1)-x.（1）求函数f（x）的最大值.（2)若x〉-1,证明1- 1／x-1≤In(x+1)≤x
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 23:04:47
已知函数f(x)=In(x+1)-x.（1）求函数f（x）的最大值.（2)若x〉-1,证明1- 1／x-1≤In(x+1)≤x
已知函数f(x)=In(x+1)-x.（1）求函数f（x）的最大值.（2)若x〉-1,证明1- 1／x-1≤In(x+1)≤x
已知函数f(x)=In(x+1)-x.（1）求函数f（x）的最大值.（2)若x〉-1,证明1- 1／x-1≤In(x+1)≤x
解1：
由对数的定义,可知x+1＞0
解得：x∈(-1,∞)
f(x)=In(x+1)-x
f‘(x)=1/(x+1)-1
f'(x)=[1-(x+1)]/(x+1)
f'(x)=-x/(x+1)
令：f'(x)=0,即：-x/(x+1)=0
解得：x=0
当x∈(-1,0]时,f’(x)＞0,f(x)是增函数；
当x∈[0,∞)时,f'(x)＜0,f(x)是减函数.
当x=0时,f(x)有最大值.
f(0)=In(0+1)-0=0
f(x)的最大值是0.
解2：
已知：f(x)的最大值是0,即f(x)≤0
x-ln(x+1)=-f(x)
可得：x-ln(x+1)≥0
即：ln(x+1)≤x
楼主给出的1-1/x-1不明,是1-(1/x)-1?还是1-1/(x-1)?
还望楼主明示.
（1）f(x)=In(x+1)-x,定义域x>-1，求导得：y'=-x/(x+1)，当-1
（2）函数f（x）有最大值为零，In(x+1)-x≤0，则In(x+1)≤x，
显然函数的定义域为x>-1,
f'(x)=1/(x+1)-1= -x/(x+1),所以
当 -1
当 x>0时，f'(x)<0, f(x)单减。
当x=0时，f(x)取极大值（也是最大值）为f(0)=0.
(2)
上面已经证明f(x)的最大值为0，所以ln(x+1)-x≤0,即ln(x+1)≤x,所以只需证...
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显然函数的定义域为x>-1,
f'(x)=1/(x+1)-1= -x/(x+1),所以
当 -1
当 x>0时，f'(x)<0, f(x)单减。
当x=0时，f(x)取极大值（也是最大值）为f(0)=0.
(2)
上面已经证明f(x)的最大值为0，所以ln(x+1)-x≤0,即ln(x+1)≤x,所以只需证第一个不等式。
令g(x)=ln(x+1)-1+1/(x+1),则
g'(x)=1/(x+1)-1/(x+1)^2= x/(x+1)^2. 故
当 -1
当 x=0时 g(x)取最小值为g(0)=0；
所以 g(x)>=0, 也即有1-1/(x+1)≤ln(x+1).
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