头疼的初三几何,小弟实在不会了.△ABC中,∠A=90º,D为BC的中点,边AB.AC上有点P.Q,∠PDQ=90º,PE⊥BC,QF⊥BC,求证EF=BD（AB不等于AC）PS：当P在射线AB上时,EF是否等于BD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 00:47:13
头疼的初三几何,小弟实在不会了.△ABC中,∠A=90º,D为BC的中点,边AB.AC上有点P.Q,∠PDQ=90º,PE⊥BC,QF⊥BC,求证EF=BD（AB不等于AC）PS：当P在射线AB上时,EF是否等于BD
头疼的初三几何,小弟实在不会了.
△ABC中,∠A=90º,D为BC的中点,边AB.AC上有点P.Q,∠PDQ=90º,PE⊥BC,QF⊥BC,求证EF=BD（AB不等于AC）
PS：当P在射线AB上时,EF是否等于BD
头疼的初三几何,小弟实在不会了.△ABC中,∠A=90º,D为BC的中点,边AB.AC上有点P.Q,∠PDQ=90º,PE⊥BC,QF⊥BC,求证EF=BD（AB不等于AC）PS：当P在射线AB上时,EF是否等于BD
给你提供一种比较代数的解法.
证明：
欲证EF=BD,即证BE=DF.下面证明BE=DF.
不难得到△BEP∽△QFC,△PED∽△DFQ.
由此可得,
BE：PE=QF：FC,①
PE：ED=DF：QF,②
你将这些比例写成分数形式,手打分数太麻烦,下面会用到.
②式即
ED：PE=QF：DF ③
①+③得
（BE+ED）：PE=QF：DF +QF：FC 即：BD：PE=（DF*QF+FC*QF）：(DF*FC)=（DC*QF）：(DF*FC)
因为BD=DC,则得
PE*QF=DF*FC ④
同理易得
（不知道这个‘同理’你能看懂不能.上面①+③等式的左边是用PE做分母,然后两个分子相加正好是BD；你也可以将①式分子分母颠倒一下得到另一个式子,再与②式相加,这时候得到一个等式的右边是QF为分母,两个分子相加就得到DC.）,
PE*QF=BE*ED ⑤
由④、⑤两式可得
BE*ED=DF*FC ⑥
又因为
BE+ED=DF+FC ⑦
下面的工作就是如何由⑥⑦两式得到BE=DF.
设BE+ED=DF+FC=a（a＞0） ⑧
则,由⑥式得 BE*（a-BE）=DF*(a-DF) 化简得
（BE-DF）*（BE+DF-a）=0.
有两种情况,
若BE=DF,则命题得证.
若BE+DF-a=0,由⑧式易得BE=ED=DF=FC,亦得证.
综上所述,得证.
不懂继续问我.