高等代数,线性代数 矩阵A（n×n）的秩为1.那么他的特征值等于什么? 主要是想求证明：特征值的和=矩阵的迹要一步一步来噢···嘿

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 14:58:49
高等代数,线性代数矩阵A（n×n）的秩为1.那么他的特征值等于什么?主要是想求证明：特征值的和=矩阵的迹要一步一步来噢···嘿高等代数,线性代数矩阵A（n×n）的秩为1.那么他的特征值等于什么?主要是

高等代数,线性代数 矩阵A（n×n）的秩为1.那么他的特征值等于什么? 主要是想求证明：特征值的和=矩阵的迹要一步一步来噢···嘿
高等代数,线性代数 矩阵A（n×n）的秩为1.那么他的特征值等于什么? 主要是想求证明：特征值的和=矩阵的迹
要一步一步来噢···嘿

高等代数,线性代数 矩阵A（n×n）的秩为1.那么他的特征值等于什么? 主要是想求证明：特征值的和=矩阵的迹要一步一步来噢···嘿
分析:
因为A的秩等于1, 所以A的行向量中有一行非零(记为α, 不妨记为列向量)
且其余行都是它的倍数. 将这些倍数构成列向量β, β≠0
则有 A=βα^T.
如: A =
2 4 6
1 2 3
0 0 0
则 α=(1,2,3)^T, β=(2,1,0)^T, A=βα^T.

注意到 α^Tβ 是两个向量的内积,是一个数 (上例中等于 4)
所以有 Aβ = (βα^T)β = (α^Tβ)β
所以α^Tβ是A的一个特征值, β是A的属于这个特征值的特征向量.

再由r(A)=1知, 齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量
综上知 0 是A的 n-1 重特征值.

tr(A)=α^Tβ+0+0+...+0=α^Tβ.
如上例中有 tr(A)=4=α^Tβ.

1.rank(A)=1说明A至少有n-1个特征值是零
2.tr(A)=sum(λ)
由此可以得到A的特征值是n-1个零和1个tr(A)
当然tr(A)也可能是零，只不过这个零特征值是亏损的
如果只讨论特征值的话就这点结果，想不到没关系，但在看到结论后不论哪步不会证都不应该，全是基本的东西...

全部展开

1.rank(A)=1说明A至少有n-1个特征值是零
2.tr(A)=sum(λ)
由此可以得到A的特征值是n-1个零和1个tr(A)
当然tr(A)也可能是零，只不过这个零特征值是亏损的
如果只讨论特征值的话就这点结果，想不到没关系，但在看到结论后不论哪步不会证都不应该，全是基本的东西

收起

高等代数,线性代数 矩阵A（n×n）的秩为1.那么他的特征值等于什么? 主要是想求证明：特征值的和=矩阵的迹要一步一步来噢···嘿 高等代数（线性代数）题证明：如果m*n矩阵A的秩为r,则它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不小于r+s-m 高等代数的：设A是m × n阶实矩阵,证明：秩（A`A）=秩（A） 高等代数（线性代数）设A为n阶实对称矩阵,证明：存在唯一n阶实对称矩阵B使得A＝B的三次方求指导, 高等代数,线性代数,求矩阵的行列式 高等代数/线性代数：n阶矩阵A、B可换,B幂零,证A与A+B有相同的特征多项式. 求解一道高等代数关于矩阵的秩的证明题设A是一个n阶可逆方阵,向量α、β是两个n元向量.试证明：r（A+αβ′）≥n-1. A是复数域上的m×n矩阵,若方程AX=B无解,求证A'AX=A'B一定有解请用用线性代数或高等代数的理论证明 高等代数的问题：谁能给矩阵A,B（A,B属于n阶矩阵）定义个内积,使这个n阶矩阵是欧式空间?急, 高等代数 设A为n阶实反对称矩阵 求证矩阵 A^2为实对称矩阵 高等代数题 A是n阶实对称矩阵,如下图 证明：对n阶矩阵A必存在自然数k,使秩（A的k次方）=秩（A的k+1次方）,求高等代数高手指教. 设n维复矩阵A是正规矩阵（即A^{*}乘A=A乘A^{*},A^{*}是A的共轭转置）,证明全空间=Ker(A)直和Im(A).大学高等代数， 高等代数 A是复数域上的一个N阶矩阵,R1,R2...,RN是A的全部特征根（重根按重数计算） 证（1）若F(X)F(R1)高等代数 A是复数域上的一个N阶矩阵,R1,R2...,RN是A的全部特征根（重根按重数计算） 证（1 线性代数：若n阶矩阵A的秩r 线性代数：如果n阶矩阵A的秩r 如何证明n阶矩阵的特征多项式等于其（特征矩阵）不变因子的乘积北大《高等代数》第8章、第4节,P341上说：n阶矩阵的特征矩阵的秩一定是n,因此n阶矩阵的不变因子总是有n个,并且,他们的乘 高等代数的一道题目,涉及多项式互素和矩阵运算,矩阵的秩.设数域F上的多项式h(x)和g(x)互素,即（h(x),g(x)）=1,又f(x)=h(x)g(x),若存在n阶实矩阵A使得f(A)=0,证明：r (g(A)) + r (h(A)) = n.