如何证明幂等矩阵的迹等于它的秩

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/08/13 00:53:01

如何证明幂等矩阵的迹等于它的秩如何证明幂等矩阵的迹等于它的秩如何证明幂等矩阵的迹等于它的秩先证其特征值只能为0和1设k是他的特征值,a为其对应的特征向量A^2a=Aka=k^2a因为A^2=A,故A^

如何证明幂等矩阵的迹等于它的秩
如何证明幂等矩阵的迹等于它的秩

如何证明幂等矩阵的迹等于它的秩
先证其特征值只能为0和1
设k是他的特征值,a为其对应的特征向量
A^2a=Aka=k^2a
因为A^2=A,故A^2a=Aa=ka
(k^2-k)a=0,因为a为非零向量故k=0或1
再证,矩阵的秩等于其非零特征值的个数.
因为A(A-E)=0
故n=r(A-(A-E))=r(A-E)
但1的重数加0的重数不大于n,夹逼得1的重数=r(A)
命题成立.

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