如图,已知AD是三角形ABC的中线,求证：AB方+AC方=2AD方+2BD方
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 09:55:04
如图,已知AD是三角形ABC的中线,求证：AB方+AC方=2AD方+2BD方
如图,已知AD是三角形ABC的中线,求证：AB方+AC方=2AD方+2BD方
如图,已知AD是三角形ABC的中线,求证：AB方+AC方=2AD方+2BD方
作高AH.则有AB方=BH方+AH方,AC方=CH方+AH方,AH方=AD方--DH方,
所以 AB方+AC方=2AH方+BH方+CH方,
=2AD方+BH方+CH方--2DH方,
因为 AD是三角形ABC的中线,
所以 BD=CD,
因为 BH方+CH方--2DH方=（BH+DH）（BH--DH）+（CH+DH）（CH--DH）
=（BD+2DH）BD+CD（CD--2DH）
=（BD方+2DH*BD）+（CD方--2DH*CD）
=BD方+CD方+2DH*BD--2DH*CD
=2BD方,
所以 AB方+AC方=2AD方+2BD方.
证明：根据余弦定理 BC*BC=AB*AB+AC*AC-2AB*ACcos∠CAB ①
AD*AD=AC*AC+CD*CD-2AC*CDcos∠ACD ②
又CD=AB,∠ACD=180°-∠CAB,
所以②式可化为： AD*AD=AB*AB+AC*AC+2AB*ACcos∠CAB ③
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证明：根据余弦定理 BC*BC=AB*AB+AC*AC-2AB*ACcos∠CAB ①
AD*AD=AC*AC+CD*CD-2AC*CDcos∠ACD ②
又CD=AB,∠ACD=180°-∠CAB,
所以②式可化为： AD*AD=AB*AB+AC*AC+2AB*ACcos∠CAB ③
①+③即得：2(AC*AC + CD*CD)=AD*AD + CB*CB (AD CB是对角线)
即平行四边形的两对角线的平方和等于四边的平方和，
你把三角形补成平行四边形就明白了
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