空间的垂直 写出必要的文字说明、证明过程及计算步骤如图所示,已知正方形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN⊥AB；（2）若PA=AD,求证MN⊥平面PCD.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 00:48:40
空间的垂直 写出必要的文字说明、证明过程及计算步骤如图所示,已知正方形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN⊥AB；（2）若PA=AD,求证MN⊥平面PCD.
空间的垂直 写出必要的文字说明、证明过程及计算步骤
如图所示,已知正方形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥AB；
（2）若PA=AD,求证MN⊥平面PCD.
空间的垂直 写出必要的文字说明、证明过程及计算步骤如图所示,已知正方形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN⊥AB；（2）若PA=AD,求证MN⊥平面PCD.
证明：（1）取CD的中点为Q,连接MQ,NQ
∵N、Q分别是PC、CD的中点
∴ NQ‖PD
同理 MQ‖AD
∴MNQ‖PAD
∵PA⊥AB,AD⊥AB
∴PAD⊥AB
∵MNQ‖PAD
∴MNQ⊥AB
∴MN⊥AB
（2）连接PM,CM
则PM=CM
PMC为等腰三角形,MN为其底边上的中线
∴MN⊥PC
另外,AB‖CD,MN⊥AB
∴MN⊥CD
∴MN⊥PCD
1，证明：
取CD的中点Q。
因为PA⊥平面ABCD
所以CD⊥PA
因为ABCD为矩形
所以CD⊥AD
所以CD⊥平面ADP
所以CD⊥PD
因为N为PC中点，Q为CD中点，
所以NQ与PD平行
所以NQ⊥CD 而，AB与CD平行
所以NQ⊥AB
因为M为AB中点，Q为CD中点
所以AB⊥MQ...
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1，证明：
取CD的中点Q。
因为PA⊥平面ABCD
所以CD⊥PA
因为ABCD为矩形
所以CD⊥AD
所以CD⊥平面ADP
所以CD⊥PD
因为N为PC中点，Q为CD中点，
所以NQ与PD平行
所以NQ⊥CD 而，AB与CD平行
所以NQ⊥AB
因为M为AB中点，Q为CD中点
所以AB⊥MQ
所以AB⊥平面MNQ
所以AB⊥MN
2，证明
PA与AD相等，即PA与BC相等
而，AM与BM相等
且，角PAM等于角CBM为直角
所以△PAM与△CBM全等。
所以PM=CM
又因为N为PC中点
所以MN⊥PC
结合一问中MN⊥CD
得，MN⊥平面PCD
证毕
收起