求解一道数学题,要详解过程函数f(x)=ax+b/1+x²是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5,(1).求函数f(x)的解析式 (2).用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数 (3).解不等式f(t-1)+f(t)<0
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 03:10:38
求解一道数学题,要详解过程函数f(x)=ax+b/1+x²是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5,(1).求函数f(x)的解析式 (2).用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数 (3).解不等式f(t-1)+f(t)<0
求解一道数学题,要详解过程
函数f(x)=ax+b/1+x²是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5,
(1).求函数f(x)的解析式 (2).用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数 (3).解不等式f(t-1)+f(t)<0
求解一道数学题,要详解过程函数f(x)=ax+b/1+x²是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5,(1).求函数f(x)的解析式 (2).用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数 (3).解不等式f(t-1)+f(t)<0
1、
奇函数则f(0)=0
所以b/1=0
b=0
f(1/2)=(a/2)/(1+1/4)=2/5
a=1
所以f(x)=x/(1+x²)
2、
令-1
通分,分母(1+x1²)(1+x2²)>0
看分子
分子=x1+x1x2²-x2-x1²x2
=(x1-x2)-(x1x2)(x1-x2)
=(x1-x2)(1-x1x2)
x1
所以分子小于0
所以f(x1)-f(x2)<0
即-1
3、
f(t-1)<-f(t)
奇函数
f(t-1)
-1
t-1<-t
t<1/2
-t<1
t>-1
所以0
(1)
由已知得f(-x)=-f(x)
∴-ax+b/(x^2+1)=-ax-b/(x^2+1)
解得b=-1
则f(x)=ax-1/(x^2+1)
又f(1/2)=2/5
∴2/5=a/2-1/(1+1/4)
解得a=12/5
∴f(x)=12x/5-1/(x^2+1)
(2)
设-1
全部展开
(1)
由已知得f(-x)=-f(x)
∴-ax+b/(x^2+1)=-ax-b/(x^2+1)
解得b=-1
则f(x)=ax-1/(x^2+1)
又f(1/2)=2/5
∴2/5=a/2-1/(1+1/4)
解得a=12/5
∴f(x)=12x/5-1/(x^2+1)
(2)
设-1
=12(x2-x1)/5+1/(x1^2+1)-1/(x2^2+1)
=12(x2-x1)/5+[(x2+x1)(x2-x1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=(x2-x1){12/5+[(x2+x1)/(x1^2+1)(x2^2+1)]}
显然f(x2)-f(x1)>0
∴f(x)在(-1,0]上单调递增
又f(x)是奇函数
∴f(x)在(0,1)上单调递增
综上所述f(x)在(-1,1)上单调递增
(3)
化为f(t-1)<-f(t)
又f(x)是奇函数
∴f(t-1)
-1
t-1<-t
解得t∈(0,1/2)
收起