椭圆方程的各种求法 急用

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椭圆方程的各种求法
急用

椭圆方程的各种求法 急用
圆锥曲线方程的求法
开远市一中 佘维平

1．本单元内容在课本及高考中的地位
求圆锥曲线的方程（含求轨迹）,既是解析几何的重要基本知识,同时又是高考每年必考的重点内容.其主要内容是椭圆、双曲线、抛物线方程的求法,这一类问题的解决往往要涉及到函数、不等式、方程、三角、直线等有关知识和数形结合思想、函数与方程思想、转换思想的综合应用,因此在高考中常常以圆锥曲线为载体来全面考查学生的综合能力.
2．求圆锥曲线方程的常用方法
定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等.关键是形数结合,建立等量关系.
3．对本单元的学习和考试要求
能根据所给条件,选择适当坐标系求出曲线方程,并画出方程所表示的曲线.
4．求曲线方程的一般步骤及要点是
建系、列式、化简、证明.
第一步骤“建系（建立坐标系）”在实际问题中有两种情况：（1）所研究的问题中已经有坐标系,此时在给定的坐标系中求出方程即可；（2）条件中无坐标系,这时必须首先选取适当坐标系,通常总是选取特殊位置的点为原点,相互垂直的直线为坐标轴等.
第二步是最重要的一环,须仔细分析曲线的特征,注意揭示隐含条件,抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件,列出方程.在将几何条件转化为代数方程的过程中,要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用,还会常用到一些基本公式,如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等.
第三步,在化简过程中,要注意运算和变形的合理性与准确性,避免“失解”和“增解”.
对于第四步,中学阶段不作要求（从理论上讲则是必要的）,多数情况下不会有什么问题,但若遇特殊情况则应该适当予以说明.例如,根据题意,某些点虽然其坐标满足方程,但却不在所求曲线上,那么可通过限制x、y的取值范围把它删除掉.
5．例题解析
例1 求经过定点A（2,0）,且与定直线x=-2相切的动圆圆心P的轨迹方程.
解如图易知,动点到定点的距离与到定直线的距离相等,根据圆锥曲线的定义可知,动点轨迹是抛物线y2=2px,其中,p＝4,所以,所求P点轨迹方程是y2=8x.
例2 （1992年全国高考题）焦点为F1（－2,0）和F2（6,0）,离心率为2的双曲线的方程是______________
解 由两焦点知双曲线的中心为（2,0）,c=4,c/a=2,a=2,b2=12,
∴所求曲线方程是.
例3 （1993年全国理科题）动圆与定圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆
解 由条件设O：x2+y2=1,r1=1；M：(x-2)2+y2=4,r2=2,M（2,0）,设动圆圆心为P（x,y）,半径为r,则有, ,
∴,
根据双曲线的定义,动圆圆心轨迹是双曲线的一支.故选C.
例4 在双曲线的上支有不同三点A(x1,y1),C(x2,y2),B(,6)到焦点F（0,5）的距离成等差数列,求y1+y2的值.
解 ∵,∴双曲线的准线为m:y=5/12,
作AA1⊥m于A1则, ∴,
同理：,
∵,
∴ 2,
∴y1+y2=12.
说明 1〕以上四例都是根据圆锥曲线的定义求解,这是求圆锥曲线方程最重要的解法之一,其中例3和例4分别使用了第一和第二定义,实际上,凡题目中出现“焦半径（焦点与曲线上点的连线）”,就应考虑使用圆锥曲线的定义,若还有“准线”出现,则就一定会用到第二定义.
2〕动圆与定圆相切的问题,要连接两圆心（平面几何常用辅助线）,寻找圆心距间的关系,其轨迹往往是抛物线、椭圆或双曲线中的一种,在这一点上例3比较有代表性.
例5 与双曲线有相同渐近线,且经过点A（2,－3）的双曲线的方程是______________.
解 设所求双曲线方程是,
∵点A在双曲线上,∴
∴双曲线方程是：
说明 本题考查待定系数法、共渐近线系的双曲线方程的应用.
例6 （1997年全国高考题）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
分析 设所求椭圆C上任一点M(x,y),易知M关于直线x+y=0的对称点在已知椭圆上,可得椭圆C的方程.
解 设椭圆C上任一点M(x,y),利用M关于直线x+y=0的对称点为M’(-x,-y),由题意可知,M’是已知椭圆上的点.
∴所求方程为 即 ,
故选A.
例7 (1990年广东题)一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是( ).
A.( x+3)2+y2=4 B. (x-3)2+y2=1 C. (2x-3)2+4y2=1 D. (x+3/2)2+y2=1/2
解 如图,设M为圆上任意一点,
定点为A (3,0),连AM,设AM中点为N,OA中点为C(3/2,0),
则CN=1/2,于是N到C的距离为定长1/2,
其轨迹方程为(x-3/2)2+y2=1/4,即(2x-3)2+4y2=1,
因此选C.
说明 例8例9解法为几何法,即当题目中出现圆、平行四边形等等平面图形时,应充分利用它们的几何性质,寻找所求动点满足的几何条件去建立等量关系,在此题中此法比使用其他方法简便.
例8 已知定点A（3,0）,P是单位圆x2+y2=上的动点,∠AOP的平分线交PA于M,求M点的轨迹方程.
解 如图,设M、P的坐标分别是(x,y)及(x.,y.)
由三角形角平分线的性质得.
,即
∴
x= xo=,
y= yo=
∵xo2+yo2=1, ∴M点的轨迹方程是()2+()2=1,
即M ：(x-+y2=.
说明 本题解法为代入法,即利用所求轨迹上的动点坐标x和y表示出已知曲线上的动点坐标xo和yo,再代入已知曲线方程就可得到所求轨迹的方程,这也是求圆锥曲线方程使用率很高的方法.
例9 方程ax2+bx+c=0(a.b.c∈R,a≠0)的判别式的值等于1,两根之积为常数k(k≠0),求点（b,c）所表示的曲线方程.
解 根据题意有
b2-4ac=1,

消去a得,b2-4 即b2-.
∴点（b,c）所在曲的线方程是x2-.
说明 本题解法为参数法.
例10（1993年高考题）在面积为1的⊿PMN中,tg∠PMN＝1/2,tg∠MNP=－2.建立适当的坐标系,求出以M、N为焦点,且过点P的椭圆方程.
解 如图,以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立坐标系,
设以M、N为焦点,且过点P的椭圆方程为,焦点为M（－c,0）、N(c,0).
由tg∠PMN=1/2, tg=(∠PMN)=2得直线PM和PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(x-c),
联立两方程解得x=,y=,即P点坐标为（,）,
故S⊿PMN＝
由条件SΔPMN＝1得c=,即P点坐标为（）,
代入椭圆方程得,化简得3b4-8b2-3=0,
解得b=,a2=b2+c2=3+=.
所以,所求方程为.
例11 （1998年全国高考题）如图,直线l1和l2相交于点M,电Nl1,以A、B为端点的曲线段C上任意一点到l2的距离与到点N的距离相等,若⊿AMN为锐角三角形,＝,＝3,且＝6,建立适当坐标系,求曲线段C的方程.
解 如图,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立坐标系,根据题意,曲线段C是以N为焦点,l2为准线的抛物线的一段.
设曲线C的方程为y2=2px (p>0),(xAXxB,y>0), 其中xA, xB分别为A、B的横坐标,p=.
∴M(-p/2,0),N(p/2,0).
由＝,＝3得
（xA＋p/2）2+2p xA=17┄①,
（xA-p/2）2+2p xA =9 ┄② .
联立①②解得xA＝p/4, 代入①式并由p>0解得p=4, xA=1;或p=2,xA=2.
∵⊿AMN是锐角三角形,∴p/2> xA,故舍去p=2,xA=2.
由点P在曲线段C上,得xB=－P/2＝4.
综上得曲线段C的方程为 y2=8x(1≤x≤4, y>0).
说明 以上两例主要考查根据所给条件选择适当坐标系,（利用待定系数法）求曲线方程的解析几何的基本思想,考查椭圆与抛物线的概念和性质、曲线与方程的关系以及综合应用知识的能力.
6．小结
求圆锥曲线的方程（含轨迹）是解析几何的基本内容,必须把握好各种方法在什么情况下使用,适当选择解法、适当选择坐标系、合理充分地利用数形条件建立等式关系是解决此类问题的基本功.解题的主要规律可以概括为：“曲线定义要记清,数形关系须探明,一定选好坐标系,方法合理过程畅.选参、引参用好参,代入消元巧转换,待定系数为常法,列出等式是关键,理清关系思路开,一点破译全局活.”
7．复习题
1) 已知⊿PAB周长为16,其中A（－3,0）,B（3,0）,求动点P的轨迹.
2) 已知椭圆的长轴是短轴的两倍,且过点（3,0）,则其标准方程是______.
3) 已知直线n:y=x+3与双曲线4x2-y2=1,如果以双曲线的焦点为焦点作椭圆,使椭圆与n有公共点,求这些椭圆中长轴最短的椭圆方程.
4) 已知圆A：(x+2)2+y2=1与定直线m:x=1,动圆P和圆A外切且与直线m相切,求动圆P的圆心的轨迹方程.（答：y2=-8x）
5) 已知双曲线的虚轴长、实轴长和焦距成等差数列,且以y轴为右准线,经过定点P（1,2）,求双曲线右焦点的轨迹方程.
（本文字符数：3700）
佘维平 E－mail:[email protected]
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开远市一中 佘维平
1．本单元内容在课本及高考中的地位
求圆锥曲线的方程（含求轨迹），既是解析几何的重要基本知识，同时又是高考每年必考的重点内容。其主要内容是椭圆、双曲线、抛物线方程的求法，这一类问题的解决往往要涉及到函数、不等式、方程、三角、直线等有关知识和数形结合思想、函数与方程思想、转换思想的综合应用，因此在高考中常常以圆锥曲线为载体来全面考...

全部展开

圆锥曲线方程的求法
开远市一中 佘维平
1．本单元内容在课本及高考中的地位
求圆锥曲线的方程（含求轨迹），既是解析几何的重要基本知识，同时又是高考每年必考的重点内容。其主要内容是椭圆、双曲线、抛物线方程的求法，这一类问题的解决往往要涉及到函数、不等式、方程、三角、直线等有关知识和数形结合思想、函数与方程思想、转换思想的综合应用，因此在高考中常常以圆锥曲线为载体来全面考查学生的综合能力。
2．求圆锥曲线方程的常用方法
定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等。关键是形数结合，建立等量关系。
3．对本单元的学习和考试要求
能根据所给条件，选择适当坐标系求出曲线方程，并画出方程所表示的曲线。
4．求曲线方程的一般步骤及要点是
建系、列式、化简、证明。
第一步骤“建系（建立坐标系）”在实际问题中有两种情况：（1）所研究的问题中已经有坐标系，此时在给定的坐标系中求出方程即可；（2）条件中无坐标系，这时必须首先选取适当坐标系，通常总是选取特殊位置的点为原点，相互垂直的直线为坐标轴等。
第二步是最重要的一环，须仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件，列出方程。在将几何条件转化为代数方程的过程中，要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用，还会常用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。
第三步，在化简过程中，要注意运算和变形的合理性与准确性，避免“失解”和“增解”。
对于第四步，中学阶段不作要求（从理论上讲则是必要的），多数情况下不会有什么问题，但若遇特殊情况则应该适当予以说明。例如，根据题意，某些点虽然其坐标满足方程，但却不在所求曲线上，那么可通过限制x、y的取值范围把它删除掉。
5．例题解析
例1 求经过定点A（2，0），且与定直线x=-2相切的动圆圆心P的轨迹方程。
解如图易知，动点到定点的距离与到定直线的距离相等，根据圆锥曲线的定义可知，动点轨迹是抛物线y2=2px,其中，p＝4，所以，所求P点轨迹方程是y2=8x。
例2 （1992年全国高考题）焦点为F1（－2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是______________
解 由两焦点知双曲线的中心为（2，0），c=4,c/a=2,a=2,b2=12，
∴所求曲线方程是。
例3 （1993年全国理科题）动圆与定圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆
解 由条件设O：x2+y2=1，r1=1；M：(x-2)2+y2=4，r2=2，M（2，0），设动圆圆心为P（x,y），半径为r,则有, ,
∴,
根据双曲线的定义，动圆圆心轨迹是双曲线的一支。故选C。
例4 在双曲线的上支有不同三点A(x1,y1),C(x2,y2),B(,6)到焦点F（0，5）的距离成等差数列，求y1+y2的值。
解 ∵，∴双曲线的准线为m:y=5/12,
作AA1⊥m于A1则, ∴,
同理：,
∵,
∴ 2,
∴y1+y2=12。
说明 1〕以上四例都是根据圆锥曲线的定义求解，这是求圆锥曲线方程最重要的解法之一，其中例3和例4分别使用了第一和第二定义，实际上，凡题目中出现“焦半径（焦点与曲线上点的连线）”，就应考虑使用圆锥曲线的定义，若还有“准线”出现，则就一定会用到第二定义。
2〕动圆与定圆相切的问题，要连接两圆心（平面几何常用辅助线），寻找圆心距间的关系，其轨迹往往是抛物线、椭圆或双曲线中的一种，在这一点上例3比较有代表性。
例5 与双曲线有相同渐近线，且经过点A（2，－3）的双曲线的方程是______________.
解 设所求双曲线方程是,
∵点A在双曲线上，∴
∴双曲线方程是：
说明 本题考查待定系数法、共渐近线系的双曲线方程的应用。
例6 （1997年全国高考题）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
分析 设所求椭圆C上任一点M(x,y)，易知M关于直线x+y=0的对称点在已知椭圆上，可得椭圆C的方程。
解 设椭圆C上任一点M(x,y)，利用M关于直线x+y=0的对称点为M’(-x,-y),由题意可知，M’是已知椭圆上的点。
∴所求方程为 即 ，
故选A。
例7 (1990年广东题)一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是( ).
A.( x+3)2+y2=4 B. (x-3)2+y2=1 C. (2x-3)2+4y2=1 D. (x+3/2)2+y2=1/2
解 如图，设M为圆上任意一点，
定点为A (3,0),连AM，设AM中点为N,OA中点为C(3/2,0)，
则CN=1/2，于是N到C的距离为定长1/2，
其轨迹方程为(x-3/2)2+y2=1/4,即(2x-3)2+4y2=1，
因此选C。
说明 例8例9解法为几何法，即当题目中出现圆、平行四边形等等平面图形时，应充分利用它们的几何性质，寻找所求动点满足的几何条件去建立等量关系，在此题中此法比使用其他方法简便。
例8 已知定点A（3，0），P是单位圆x2+y2=上的动点，∠AOP的平分线交PA于M，求M点的轨迹方程。
解 如图，设M、P的坐标分别是(x,y)及(x。，y。)
由三角形角平分线的性质得。
,即
∴
x= xo=,
y= yo=
∵xo2+yo2=1, ∴M点的轨迹方程是()2+()2=1,
即M ：(x-+y2=.
说明 本题解法为代入法，即利用所求轨迹上的动点坐标x和y表示出已知曲线上的动点坐标xo和yo，再代入已知曲线方程就可得到所求轨迹的方程，这也是求圆锥曲线方程使用率很高的方法。
例9 方程ax2+bx+c=0(a.b.c∈R,a≠0)的判别式的值等于1，两根之积为常数k(k≠0)，求点（b，c）所表示的曲线方程。
解 根据题意有
b2-4ac=1,
消去a得，b2-4 即b2-。
∴点（b,c）所在曲的线方程是x2-。
说明 本题解法为参数法。
例10（1993年高考题）在面积为1的⊿PMN中，tg∠PMN＝1/2，tg∠MNP=－2。建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点，且过点P的椭圆方程。
解 如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立坐标系，
设以M、N为焦点，且过点P的椭圆方程为,焦点为M（－c,0）、N(c,0)。
由tg∠PMN=1/2, tg=(∠PMN)=2得直线PM和PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(x-c),
联立两方程解得x=,y=,即P点坐标为（,），
故S⊿PMN＝
由条件SΔPMN＝1得c=,即P点坐标为（），
代入椭圆方程得,化简得3b4-8b2-3=0,
解得b=,a2=b2+c2=3+=.
所以，所求方程为.
例11 （1998年全国高考题）如图，直线l1和l2相交于点M，电Nl1，以A、B为端点的曲线段C上任意一点到l2的距离与到点N的距离相等，若⊿AMN为锐角三角形，＝，＝3，且＝6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程。
解 如图，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立坐标系，根据题意，曲线段C是以N为焦点，l2为准线的抛物线的一段。
设曲线C的方程为y2=2px (p>0),(xAXxB,y>0), 其中xA, xB分别为A、B的横坐标，p=。
∴M(-p/2,0)，N(p/2,0)。
由＝，＝3得
（xA＋p/2）2+2p xA=17┄①,
（xA-p/2）2+2p xA =9 ┄② .
联立①②解得xA＝p/4, 代入①式并由p>0解得p=4, xA=1;或p=2，xA=2。
∵⊿AMN是锐角三角形，∴p/2> xA，故舍去p=2，xA=2。
由点P在曲线段C上，得xB=－P/2＝4。
综上得曲线段C的方程为 y2=8x(1≤x≤4, y>0).
说明 以上两例主要考查根据所给条件选择适当坐标系，（利用待定系数法）求曲线方程的解析几何的基本思想，考查椭圆与抛物线的概念和性质、曲线与方程的关系以及综合应用知识的能力。
6．小结
求圆锥曲线的方程（含轨迹）是解析几何的基本内容，必须把握好各种方法在什么情况下使用，适当选择解法、适当选择坐标系、合理充分地利用数形条件建立等式关系是解决此类问题的基本功。解题的主要规律可以概括为：“曲线定义要记清,数形关系须探明,一定选好坐标系，方法合理过程畅。选参、引参用好参，代入消元巧转换，待定系数为常法，列出等式是关键，理清关系思路开，一点破译全局活。”
7．复习题
1) 已知⊿PAB周长为16，其中A（－3，0），B（3，0），求动点P的轨迹。
2) 已知椭圆的长轴是短轴的两倍，且过点（3，0），则其标准方程是______。
3) 已知直线n:y=x+3与双曲线4x2-y2=1，如果以双曲线的焦点为焦点作椭圆，使椭圆与n有公共点，求这些椭圆中长轴最短的椭圆方程。
4) 已知圆A：(x+2)2+y2=1与定直线m:x=1，动圆P和圆A外切且与直线m相切，求动圆P的圆心的轨迹方程。（答：y2=-8x）
5) 已知双曲线的虚轴长、实轴长和焦距成等差数列，且以y轴为右准线，经过定点P（1，2），求双曲线右焦点的轨迹方程。
（本文字符数：3700）
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参考资料：http://www.cbe21.com/subject/maths/printer.php?article_id=1162
回答者： 石子IMO - 江湖新秀 五级 11-9 11:23
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