数列an满足a1=1/2 a(n+1)=1/2-an （1）求数列an的通向公式 （2）设数列an的前n项为Sn 证明Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 15:15:10
数列an满足a1=1/2 a(n+1)=1/2-an （1）求数列an的通向公式 （2）设数列an的前n项为Sn 证明Sn
数列an满足a1=1/2 a(n+1)=1/2-an （1）求数列an的通向公式 （2）设数列an的前n项为Sn 证明Sn
数列an满足a1=1/2 a(n+1)=1/2-an （1）求数列an的通向公式 （2）设数列an的前n项为Sn 证明Sn
A(n+1)=1/(2-An)
=>
1/[A(n+1)-1]=1/[1/(2-An)-1]
=>
1/[A(n+1)-1]=1/(An-1)-1
=>
1/[An-1]为等差数列
=>
1/(An-1)
=-1*(n-1)+1/(A1-1)
=-(n-1)+1/(-1/2)
=-n-1
=>
An
=1-1/(n+1)
=>
Sn
=1/2+2/3+3/4+.n/(n+1)
=n-[1/2+1/3+.1/(n+1)]
欲证Sn<右边
抵消n后,须证
1/2+1/3+1/4+.1/(n+1)>ln[(n+2)/2]
对此不等式下面提供三种证法：
证明一：
左边是扣去首项1的调和级数,右边是对数形式
很自然的想到调和级数发散性证明中的过程
利用函数不等式ln(1+x)
叠加可得
1+1/2+1/3+...1/n>ln(n+1)
=>
1+1/2+...1/(n+1)>ln(n+2)
且不等式左右差值为欧拉常数（约为0.577...）
于是
1/2+...1/(n+1)>ln(n+2)-(1-0.577)
右边
=ln(n+2)-ln2
比较可知
ln2>(1-0.577)
=>
左边>右边
=>
Sn
1+1/2+1/3+...1/n>ln(n+1)
上述不等式证明也可用拉格朗日中值定理替换即可有证明二：
ln(k+1)-lnk=1/W*(k+1-k)=1/W<1/k,(k
ln2-ln1<1
...
ln(n+1)-ln(n)<1/n
叠加得：
1+1/2+1/3+...1/n>ln(1+n)
以下证明同上
（利用欧拉常数）
略
证明三：
利用证明二中的不等式结论：
0
ln(n+2)-ln(n+1)<1/(n+1)
...
ln(3)-ln(2)<1/(2)
叠加得
ln(n+2)-ln(2)<1/(n+1)+...+1/2
直接一步得出所需不等式结论
即可得出
Sn
但是其中关键的一个不等式
其证明可以用多个
于是就有了三种证明
其中：
1、第一、第二种证明都利用了欧拉常数
2、三种证明过程中都有叠加的痕迹
3、第三种证明更为正式（无须ln2等的常值计算）
（1）a1=1/2,a2=1/2-a1=0,a3=1/2-a2=1/2……，得an=1/4-1/4*(-1)^n;
根据需要，你可以用数学归纳法证明
(2)由（1）得n为偶数时sn=n/4,n为奇数时,sn=(n+1)/4,所以sn<(n+2)/4=n-(3n-2)/4………………