设有一质量为m的物体,在空中由静止开始下落,如果空气阻力为R=kv,其中k>0,v为物体的速度,求物体下落的s与t的函数关系
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 21:56:38
设有一质量为m的物体,在空中由静止开始下落,如果空气阻力为R=kv,其中k>0,v为物体的速度,求物体下落的s与t的函数关系
设有一质量为m的物体,在空中由静止开始下落,如果空气阻力为R=kv,其中k>0,v为物体的速度,求物体下落的s与t
的函数关系
设有一质量为m的物体,在空中由静止开始下落,如果空气阻力为R=kv,其中k>0,v为物体的速度,求物体下落的s与t的函数关系
f ＝kv
由牛顿第二定律,得 mg-f=ma即 mg-kv=mdv/dt
整理后,得mdv/（mg-kv）=dt
两边积分,得 （-m/k）ln（mg-kv）=t+C₁（C₁为积分常数）
由初始条件：t＝0时,v＝0（从静止开始下落的）,得 C₁=（-m/k）ln（mg）
所以,（-m/k）ln（mg-kv）=t+（-m/k）ln（mg）
即 t=（m/k）ln[mg/（mg-kv）]
得 v=(mg/k)×{1-e^[-(kt/m)]}
因为v=ds/dt,
所以s=∫ vdt=∫ (mg/k)×{1-e^[-(kt/m)]}dt
=（mg/k）t+（mg/k）×（m/k）×e^(-kt/m)+C₂（C₂为积分常数）
=（mg/k）t+（m²g/k²）×e^(-kt/m)+C₂
由初始条件：t＝0时,s＝0 得 C₂=-m²g/k²
所求的s与 t 的关系是 s=（mg/k）t+（m²g/k²）×e^(-kt/m)-m²g/k²
(mg-kv)=ma
v=at
s=1/2at^2
联立解得s=1/2(mg/(m+kt))t^2
是要求s和t的关系还是分别求s和t？要是分别求的话条件不足吧
牛顿第二定律：mg-kv=ma，即mg-k*s'=ms"（s"、s'分别是s的二阶导数和一阶导数）
s(t)=gmt/k-C(1)*(m/k)*exp(-kt/m)+C(2)
t=0时，s(0)=-c(1)*(m/k)+C(2)=0
t=0时，v(0)=gm/k+C(1)=0，即C(1)=-gm/k，则C(2)=C(1)*m/k