求1/(x的四次方+1) 的的不定积分 即 S 1/( x4 + 1 ) dx请写出关键的步骤 谢谢

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 01:19:41
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求1/(x的四次方+1) 的的不定积分 即 S 1/( x4 + 1 ) dx请写出关键的步骤 谢谢
求1/(x的四次方+1) 的的不定积分 即 S 1/( x4 + 1 ) dx
请写出关键的步骤 谢谢

求1/(x的四次方+1) 的的不定积分 即 S 1/( x4 + 1 ) dx请写出关键的步骤 谢谢
顺便说一下思路吧
对于这种积分,先看分母
x^4+1=0有没有解,像本题中没有实数解
于是分母必可表示为
x^4+1=(x^2+Ax+B)(x^2+Cx+D)的形式
用待定系数法可得
A=√2,C=-√2,B=D=1
然后再根据拆解分式的方法
原式必可表示成：
1/(x^4+1)=(ax+b)/(x^2+√2x+1)+(cx+d)/(x^2-√2x+1)+e
用待定系数法得到
a=√2/4,c=-√2/4,b=d=1/2,e=0
下面其实就好求了,利用好(lnx)'=1/x和(arctanx)'=1/(x^2+1)
比如前半个式子
∫[(√2/4)x+1/2]/(x^2+√2x+1)]dx
=(√2/8)[∫(2x+√2)/(x^2+√2x+1)dx+∫√2/(x^2+√2x+1)dx
=(√2/8)[ln(x^2+√2x+1)+2arctan(√2x+1)]+C
后半个式子方法相同
于是最后化简可得
∫1/(x^4+1)dx
=(√2/8)[ln(x^2+√2x+1)-ln(x^2-√2x+1)+2arctan(√2x+1)+2arctan(√2x-1)]+C
这道题目经常在网上被问到,我把它找来,免得我打字
希望你能理解!谢谢!

...我大学没学好.玩游戏去了 哭~~~~

待定系数法

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