a是一个自然数,已知a,a+1的各位数字之和都能被7整除,这样的数最小是几?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 07:08:53
a是一个自然数,已知a,a+1的各位数字之和都能被7整除,这样的数最小是几?
a是一个自然数,已知a,a+1的各位数字之和都能被7整除,这样的数最小是几?
a是一个自然数,已知a,a+1的各位数字之和都能被7整除,这样的数最小是几?
a,a+1的各位数字之和都能被7整除,易知a个位必然是9,a+1的个位必然为0,且由a到a+1的各位数字之和变化量必为7的倍数.
若仅个位进位,则a+1各位数字之和与a相比十位+1,个位-9,总和变化=+1-9=-8,不是7的倍数,舍弃；
若仅个位与十位进位,则a+1各位数字之和与a相比百位+1,十位-9,个位-9,总和变化=+1-9-9=-17,不是7的倍数,舍弃；
……
如上规律,设自个位起,进位位数为k,则总和变化=+1-9*k是7的倍数,k>1且k是整数,实验可知,k最小为4.这样,所求数大于9999,且末尾四位必然是9999,十万位非9（k=5时不成立）.
对五位数：满足条件a+1的各位数字之和都能被7整除的a仅有69999,6+9*4=42.满足条件.
综上知所求a最小数为69999.
a，a+1的各位数字之和都能被7整除，易知a个位必然是9，a+1的个位必然为0，且由a到a+1的各位数字之和变化量必为7的倍数。
若仅个位进位，则a+1各位数字之和与a相比十位+1，个位-9，总和变化=+1-9=-8，不是7的倍数，舍弃；
若仅个位与十位进位，则a+1各位数字之和与a相比百位+1，十位-9，个位-9，总和变化=+1-9-9=-17，不是7的倍数，舍弃；
……...
全部展开
a，a+1的各位数字之和都能被7整除，易知a个位必然是9，a+1的个位必然为0，且由a到a+1的各位数字之和变化量必为7的倍数。
若仅个位进位，则a+1各位数字之和与a相比十位+1，个位-9，总和变化=+1-9=-8，不是7的倍数，舍弃；
若仅个位与十位进位，则a+1各位数字之和与a相比百位+1，十位-9，个位-9，总和变化=+1-9-9=-17，不是7的倍数，舍弃；
……
如上规律，设自个位起，进位位数为k，则总和变化=+1-9*k是7的倍数，k>1且k是整数，实验可知，k最小为4.这样，所求数大于9999，且末尾四位必然是9999，十万位非9（k=5时不成立）。
对五位数：满足条件a+1的各位数字之和都能被7整除的a仅有69999，6+9*4=42.满足条件。
综上知所求a最小数为69999.
收起
显然a+1时必有进位，且进位后的数字值变化是7的倍数。
设a+1时产生t次进位，则：
a+1数字和＝a数字和+1 -9t
由于a数字和是7的倍数
所以9t -1是7的倍数，t最少＝4
对应a未尾有且仅有4个9，高位最少凑个6使a数字和是7的倍数。
结果：69999