设x、y为正实数,且x+y=4,求根号(x^2+1)+根号(y^2+4)的最小值.用勾股定理,初一、二的内容

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 01:19:51
设x、y为正实数,且x+y=4,求根号(x^2+1)+根号(y^2+4)的最小值.用勾股定理,初一、二的内容设x、y为正实数,且x+y=4,求根号(x^2+1)+根号(y^2+4)的最小值.用勾股定理

设x、y为正实数,且x+y=4,求根号(x^2+1)+根号(y^2+4)的最小值.用勾股定理,初一、二的内容
设x、y为正实数,且x+y=4,求根号(x^2+1)+根号(y^2+4)的最小值.
用勾股定理,初一、二的内容

设x、y为正实数,且x+y=4,求根号(x^2+1)+根号(y^2+4)的最小值.用勾股定理,初一、二的内容
方法1
∵x+y=4.∴y=4-x.
∴式子z=√(x²+1)+ √(y²+4)可化为:
Z=√[(x-0) ²+(0+1) ²]+√[(x-4) ²+(0-2) ²].(0<x<4)
易知,这个式子的几何意义是:
X正半轴上的一个动点P(x,0)到两个定点M(0,-1),N(4,2)距离的和,即
Z=|PM|+|PN|.
由“两点之间,直线段最短”可知,
连接两定点M,N.与x正半轴于点P(4/3,0),此时Z的最小值=|MN|=5.
方法2
作矩形ABCD,使AB=4、BC=1,延长CB至E,使BE=2.
在AB上取一点F,使AF=x、BF=y.
由勾股定理,有:
DF=√(AF²+AD²)=√(x²+1)、EF=√(BF²+BE²)=√(y²+4).
显然有:DF+EF≧DE=√(CD²+CE²)=√(4²+3²)=5.
∴√(x²+1)+√(y²+4)的最小值是5.