已知数列{an}的各项均为正数,记A（n）=a1+a2+…+an,B（n）=a2+a3+…+an+1,C（n）=a3+a4+…+an+2,n=1,2,…．（1）若a1=1,a2=5,且对任意n∈N*,三个数A（n）,B（n）,C（n）组成等差数列,求数列{an}的通项公式．（
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 10:07:15
已知数列{an}的各项均为正数,记A（n）=a1+a2+…+an,B（n）=a2+a3+…+an+1,C（n）=a3+a4+…+an+2,n=1,2,…．（1）若a1=1,a2=5,且对任意n∈N*,三个数A（n）,B（n）,C（n）组成等差数列,求数列{an}的通项公式．（
已知数列{an}的各项均为正数,记A（n）=a1+a2+…+an,B（n）=a2+a3+…+an+1,C（n）=a3+a4+…+an+2,n=1,2,…．
（1）若a1=1,a2=5,且对任意n∈N*,三个数A（n）,B（n）,C（n）组成等差数列,求数列{an}的通项公式．
（2）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*,三个数A（n）,B（n）,C（n）组成公比为q的等比数列．
已知数列{an}的各项均为正数,记A（n）=a1+a2+…+an,B（n）=a2+a3+…+an+1,C（n）=a3+a4+…+an+2,n=1,2,…．（1）若a1=1,a2=5,且对任意n∈N*,三个数A（n）,B（n）,C（n）组成等差数列,求数列{an}的通项公式．（
（1）∵对任意n∈N*,三个数A（n）,B（n）,C（n）组成等差数列,
∴B（n）-A（n）=C（n）-B（n）,
即an+1-a1=an+2-a2,亦即an+2-an+1=a2-a1=4．
故数列{an}是首项为1,公差为4的等差数列,于是an=1+（n-1）×4=4n-3．
（2）证明：（必要性）：若数列{an}是公比为q的等比数列,对任意n∈N*,有an+1=anq．由an＞0知,A（n）,B（n）,C（n）均大于0,于是
B(n) :A(n)=(a2+a3+…+an+1 ): (a1+a2+…+an )
=q(a1+a2+…+an):a1+a2+…+an
=q,
C(n):B(n)
=(a3+a4+…+an+2):(a2+a3+…+an+1)
=q(a2+a3+…+an+1):a2+a3+…+an+1
=q,
即B(n):A(n)=C(n):B(n)=q,
∴三个数A（n）,B（n）,C（n）组成公比为q的等比数列；
（充分性）：若对任意n∈N*,三个数A（n）,B（n）,C（n）组成公比为q的等比数列,则
B（n）=qA（n）,C（n）=qB（n）,
于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）],即an+2-a2=q（an+1-a1）,亦即an+2-qan+1=a2-qa1．
由n=1时,B（1）=qA（1）,即a2=qa1,从而an+2-qan+1=0．
∵an＞0,
∴an+2:an+1=a2:a1=q．故数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列．
综上所述,数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*,三个数A（n）,B（n）,C（n）组成公比为q的等比数列