已知数列{an}中的各项均为正数,前n项和Sn满足4Sn=(an+1)平方,求{an}的同项公式
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/01 07:54:58
已知数列{an}中的各项均为正数,前n项和Sn满足4Sn=(an+1)平方,求{an}的同项公式
已知数列{an}中的各项均为正数,前n项和Sn满足4Sn=(an+1)平方,求{an}的同项公式
已知数列{an}中的各项均为正数,前n项和Sn满足4Sn=(an+1)平方,求{an}的同项公式
4a(1)=[a(1)+1]^2
a(1)=1
4a(n+1)=[a(n+1)+1]^2 - [a(n)+1]^2
[a(n)+1]^2 = [a(n+1)-1]^2
若a(n+1)>1
a(n+1)=a(n)+2
a(n)=1+2(n-1)=2n-1
若a(n+1)0,a(n+1)>0矛盾.
因此,a(n)=2n-1
an=1/3+(n-1)*2
依题意得,4Sn=(an+1)平方.即4Sn=(an+1)^2,所以4Sn+1=(a(n+1)+1)^2
所以4Sn+1-4Sn =(a(n+1)+1)^2-(an+1)^2
=(a(n+1)+an+1+1)(a(n+1)+1-an-1)
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依题意得,4Sn=(an+1)平方.即4Sn=(an+1)^2,所以4Sn+1=(a(n+1)+1)^2
所以4Sn+1-4Sn =(a(n+1)+1)^2-(an+1)^2
=(a(n+1)+an+1+1)(a(n+1)+1-an-1)
=(an+a(n+1)+2)((an+1)-an)
=a(n+1)^2-a(n+1)*an+an*a(n+1)-an^2+2a(n+1)-2an
=a(n+1)^2+2a(n+1)-2an-an^2
又因为,Sn+1-Sn=an+1,所以4Sn+1-4Sn=4a(n+1)
所以,4Sn+1-4Sn=4a(n+1)=a(n+1)^2+2a(n+1)-2an-an^2
a(n+1)^2-an^2=2a(n+1)+2an
(an+1+an)(an+1-an)=2(a(n+1)+an)
因为数列{an}中的各项均为正数,所以,an+1,an都为正数,
所以,(an+1+an)(an+1-an)=2(an+1+an)
an+1-an=2,
又因为,S1=a1,所以4S1=(a(1)+1)^2
4a1=a(1)^2+1+2a(1)
a(1)^2+1-2a(1)=0
(a(1)-1)^2=0
得a(1)=1,因为an+1-an=2,所以易得an是以2为公差的等差数列,因为a1=1,所以,
an=1+(n-1)*2=2n-1
其中关键的一步是要对Sn进行转换,变成an,让式子都变成an的形式!!通常这种题目都是这么做的!!!!
不懂的,可以交流,乐意帮忙!!!
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