能被30整除,且恰有30个不同正约数的自然数共有__个1998年上海市初中数学竞赛第二试题,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 10:29:18
能被30整除,且恰有30个不同正约数的自然数共有__个1998年上海市初中数学竞赛第二试题,
能被30整除,且恰有30个不同正约数的自然数共有__个
1998年上海市初中数学竞赛第二试题,
能被30整除,且恰有30个不同正约数的自然数共有__个1998年上海市初中数学竞赛第二试题,
设正整数分解质因数P1^a1*P2^a2*...*Pn^an,则它的约数的个数为(a1+1)(a2+1)(a3+3)...(an+1)
因为题中要求的数能被30整除,所以必然含有质因数2,3,5,设此数为2^a1*3^a2*5^a3...则它的约数个数为(a1+1)(a2+1)(a3+1)...,因为30=2*3*5,所以此数没有除2,3,5之外的质因数,所以a1+1,a2+1,a3+1只能是2,3,5或者3,2,5或5,2,3或5,3,2或2,5,3或3,5,2,共有6个
设一个自然数有p1，p2，……，pn这些个两两不同的质因数，那么如果这些质因数的重数都为1，那么我们知道一共有2^n-1个不同约数
这显然与题目不符，那么必然有重数大于1的质因子，
依题，如果正约数有至少4个两两不同的质因子，那么必然有超过：2*2^4-1=31个两两不同的正约数，这与题目矛盾，
这样，我们得到：这个自然数只有2，3，5这3个两两不同的质因子！！
现...
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设一个自然数有p1，p2，……，pn这些个两两不同的质因数，那么如果这些质因数的重数都为1，那么我们知道一共有2^n-1个不同约数
这显然与题目不符，那么必然有重数大于1的质因子，
依题，如果正约数有至少4个两两不同的质因子，那么必然有超过：2*2^4-1=31个两两不同的正约数，这与题目矛盾，
这样，我们得到：这个自然数只有2，3，5这3个两两不同的质因子！！
现在考虑其重数！
设2的重数为x1≥1，3的重数为x2≥1，5的重数为x3≥1，那么每个约数对应一个(x,y,z)，且两两不同，于是建立了一个一一映射，
而这个有序数组中，至少有一个不为0，于是
(x1+1)(x2+1)(x3+1)-1=30
得到：(x1+1)(x2+1)(x3+1)=31
那么必然是有一个数是30，其它两个数都是0
这样显然是矛盾的！
这样的数是不存在的，于是是0个！！！
顺便说下，1应该不是约数吧
收起
八个:1,2,3,5,6!
8
八个:1,2,3,5,6!