一次函数y=kx+b的图像与x,y轴分别交于点A（2,0）,B（0,4）.若O为坐标原点,设OA,AB的中点分别为C和D.P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/04 00:26:25
一次函数y=kx+b的图像与x,y轴分别交于点A（2,0）,B（0,4）.若O为坐标原点,设OA,AB的中点分别为C和D.P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标.
一次函数y=kx+b的图像与x,y轴分别交于点A（2,0）,B（0,4）.
若O为坐标原点,设OA,AB的中点分别为C和D.P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标.
一次函数y=kx+b的图像与x,y轴分别交于点A（2,0）,B（0,4）.若O为坐标原点,设OA,AB的中点分别为C和D.P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标.
A为(2,0),B为(0,4),则线段AB的中点D为(1,2);OA的中点C为(1,0).
取点C关于Y轴的对称点C',则C'为(-1,0).连接CD,则CD与Y轴的交点即为符合要求的点P.
即此时PC+PD最小.
设直线C'D为y=k'x+b',则:0=-k'+b'; 2=k'+b'.
解得:k'=1,b'=1.即直线C'D为y=x+1,即P为(0,1);
PC+PD最小值为:PC'+PD=CD=√[2²+(-1-1)²]=2√2.
由题意可知，
0=2k+b
4=b
解得 k=-2
b=4 ，
∴该函数的解析式为y=-2x+4；
在y轴上是否存在一点P，使PC+PD最小，
∵0（0，0），A（2，0），且C为AO的中点，
∴点C的坐标为（1，0），
则C关于y轴的对称点为C′（-1，0），
又∵...
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由题意可知，
0=2k+b
4=b
解得 k=-2
b=4 ，
∴该函数的解析式为y=-2x+4；
在y轴上是否存在一点P，使PC+PD最小，
∵0（0，0），A（2，0），且C为AO的中点，
∴点C的坐标为（1，0），
则C关于y轴的对称点为C′（-1，0），
又∵B（0，4），A（2，0）且D为AB的中点，
∴点D的坐标为（1，2），
设C′D的解析式为y=kx+b，
有 2=k+b 0=-k+b ，
解得 k=1 b=1 ，
∴y=x+1是DC′的解析式，
∵x=0，
∴y=1，
即P（0，1）．
收起
我路过
楼下很精彩，根据两点之间直线最短即可得P点（先找到C关于Y轴对称点C1）