已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>=0时,f(x)=2x-x^2,问是否存在这样的正数a、b,当x∈[a,b]时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为[1/b,1/a]?若存在,求出a、b的值,若不存在,说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 15:27:15
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>=0时,f(x)=2x-x^2,问是否存在这样的正数a、b,当x∈[a,b]时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为[1/b,1/a]?若存在,求出a、b的值,若不存在,说明理由.
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>=0时,f(x)=2x-x^2,问是否存在这样的正数a、b,当x∈[a,b]时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为[1/b,1/a]?若存在,求出a、b的值,若不存在,说明理由.
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>=0时,f(x)=2x-x^2,问是否存在这样的正数a、b,当x∈[a,b]时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为[1/b,1/a]?若存在,求出a、b的值,若不存在,说明理由.
当x∈[a,b]时,g(x)=f(x)=2x-x^2=-(x-1)^2+1≤1,
由于g(x)的值域为[1/b,1/a]是闭区间,则可知1/a=1;
a=1.
而f(x)=-(x-1)^2+1的对称轴是x=1;当x＞1时单调递减;故可知f(b)=1/b;
则 2b-b^2=1/b
→b^3-2b^2 +1 =0
显然b=1是一个根,但b不能等于a.
则用式除法求得:
(b^3-2b^2 +1)÷(b-1) =b^2-b-1
则b^2-b-1=0.
解得b=(1+√5)/2
为什么一定是正数ab呢 那奇函数有用么？如果没错 那就这么做：
当b<1时，函数单增，列出方程解得b=0，不成立；
b>1,a<1时，则1/a=1，所以a=1解得b为方程b^2-b-1=0的解，取大于1的解则得出答案
现在已经上大学了，有点忘了这题具体是怎么了，感觉应该把ab都是正数的要求去掉……...
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为什么一定是正数ab呢 那奇函数有用么？如果没错 那就这么做：
当b<1时，函数单增，列出方程解得b=0，不成立；
b>1,a<1时，则1/a=1，所以a=1解得b为方程b^2-b-1=0的解，取大于1的解则得出答案
现在已经上大学了，有点忘了这题具体是怎么了，感觉应该把ab都是正数的要求去掉……
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