已知：如图,正方形ABCD中,AC,BD为对角线,将∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α＜45）,旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q,交BC,CD于点E、点F,连接EF,EQ．,求证BE+DF=根号2倍PQ

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/24 01:15:49

已知：如图,正方形ABCD中,AC,BD为对角线,将∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α＜45）,旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q,交BC,CD于点E、点F,连接EF,EQ．,求证BE+DF=根

已知：如图,正方形ABCD中,AC,BD为对角线,将∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α＜45）,旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q,交BC,CD于点E、点F,连接EF,EQ．,求证BE+DF=根号2倍PQ
已知：如图,正方形ABCD中,AC,BD为对角线,将∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α＜45）,旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q,交BC,CD于点E、点F,连接EF,EQ．,求证BE+DF=根号2倍PQ

已知：如图,正方形ABCD中,AC,BD为对角线,将∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α＜45）,旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q,交BC,CD于点E、点F,连接EF,EQ．,求证BE+DF=根号2倍PQ
我的方法很繁琐,供参考吧.
（1）先证明BE+DF=EF,将△ABE逆时针旋转90°到ADM位置（如图）即可证明.

(2)证明∠AEQ=45°,且AE＝根号2倍 AQ.
设对角线交于O点,
由题意可知∠BAE=α°,∠OAQ=α°,所以∠BAE=∠OAQ
因为∠ABE=∠AOQ=90°
所以△ABE∽△AOQ
∴AB：AO=AE：AQ
所以AB/AE=AO/AQ,又因为∠BAO=∠EAQ=45°,
所以△BAO∽△EAQ,
所以∠AEQ=∠ABO=45°.
所以∠AQE=90°,AE＝根号2倍 AQ
同理AF＝根号2倍 AP
（3）证明 △AEF∽△AQP,从而EF=根号2倍 PQ,得出结论.
由（2）知道AE:AQ=AF:AP=2倍根号2,∠EAF=∠QAP
所以△AEF∽△AQP,
所以EF：PQ=相似比=2倍根号2
从而EF=根号2倍 PQ,
因为 BE+DF=EF,
得出结论BE+DF=根号2倍PQ.