P是平面ABCD外一点,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点求二面角E-AC-D所成角的余弦值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 22:13:29
P是平面ABCD外一点,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点求二面角E-AC-D所成角的余弦值
P是平面ABCD外一点,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点
求二面角E-AC-D所成角的余弦值
P是平面ABCD外一点,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点求二面角E-AC-D所成角的余弦值
以A为原点建立空间坐标系c(2,4,0) E(0,2,1)A(0,0,0)
平面ACD法向量为m(1,0,0)
设平面ace法向量为n(x,y,z)
则向量AC*N=0 AE*n=0
2x+4y=0 2y+z=0
x= -2y z=-2y 所以令y=1 向量n=(-2,1,-2)
cosa=向量 m*n/(模m*模n)=-2/(1*3)=-2/3
在平面PAD上作EF⊥AD,
E为PD中点,EF//PA,
PA⊥平面ABCD,
EF⊥平面ABCD,
在平面ABCD上作GF⊥AC,垂足G,连结EG,
根据三垂线定理,EG⊥AC,
《EGF是二面角E-AC-D的平面角,
RT△AGF∽RT△ADC,
AF=AD/2=2,
AC=2√5,
GF/CD=AF/AC,
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在平面PAD上作EF⊥AD,
E为PD中点,EF//PA,
PA⊥平面ABCD,
EF⊥平面ABCD,
在平面ABCD上作GF⊥AC,垂足G,连结EG,
根据三垂线定理,EG⊥AC,
《EGF是二面角E-AC-D的平面角,
RT△AGF∽RT△ADC,
AF=AD/2=2,
AC=2√5,
GF/CD=AF/AC,
GF=2/√5,
EF=PA/2=1,
EG=3/√5,
设θ是E-AC-D二面角的平面角,
cosθ=GF/EG=2/√5/(3/√5)=2/3,
二面角E-AC-D所成角的余弦值为2/3.
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