a ,b ,c 是三角形的三边,求证a^3b+b^3c+c^3a>=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 10:42:14
a ,b ,c 是三角形的三边,求证a^3b+b^3c+c^3a>=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
a ,b ,c 是三角形的三边,求证a^3b+b^3c+c^3a>=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
a ,b ,c 是三角形的三边,求证a^3b+b^3c+c^3a>=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
不失一般性,设a≧b≧c＞0,则：1/c≧1/b≧1/a.
令p＝（a＋b＋c）/2,则有：2p＝a＋b＋c.
现在考查 2c（p－c）、2b（p－b）、2a（p－a）的大小.
∵2c（p－c）－2b（p－b）
＝2pc－2c^2－2pb＋2b^2＝2（b^2－c^2）－2p（b－c）＝2（b－c）（b＋c）－2p（b－c）
＝（b－c）［2（b＋c）－2p］＝（b－c）［2（b＋c）－（a＋b＋c）］
＝（b－c）（b＋c－a）.
在三角形中,显然有：b＋c－a＞0,而b≧c,∴（b－c）（b＋c－a）≧0,
∴2c（p－c）≧2b（p－b）.
∵2b（p－b）－2a（p－a）
＝2pb－2b^2－2pa＋2a^2＝2（a^2－b^2）－2p（a－b）＝2（a－b）（a＋b）－2p（a－b）
＝（a－b）［2（a＋b）－2p］＝（a－b）［2（a＋b）－（a＋b＋c）］
＝（a－b）（a＋b－c）.
在三角形中,显然有：a＋b－c＞0,而a≧b,∴（a－b）（a＋b－c）≧0,
∴2b（p－b）≧2a（p－a）.
考查下面两组数：1/c≧1/b≧1/a、 2c（p－c）≧2b（p－b）≧2a（p－a）.
由排序不等式：顺序和≧乱序和,得：
［2c（p－c）］/c＋［2b（p－b）］/b＋［2a（p－a）］/a
≧［2c（p－c）］/b＋［2b（p－b）］/a＋［2a（p－a）］/c,
∴2（p－c）＋2（p－b）＋2（p－a）
≧［2c（p－c）］/b＋［2b（p－b）］/a＋［2a（p－a）］/c,
∴6p－（a＋b＋c）≧［2c（p－c）］/b＋［2b（p－b）］/a＋［2a（p－a）］/c,
∴3（a＋b＋c）－（a＋b＋c）≧［2c（p－c）］/b＋［2b（p－b）］/a＋［2a（p－a）］/c,
∴a＋b＋c≧［2c（p－c）］/b＋［2b（p－b）］/a＋［2a（p－a）］/c,
∴a^2bc＋b^2ac＋c^2ab≧2c^2a（p－c）＋2b^2c（p－b）＋2a^2b（p－a）,
∴a^2bc＋b^2ac＋c^2ab≧c^2a（2p－2c）＋b^2c（2p－2b）＋a^2b（2p－2a）,
∴a^2bc＋b^2ac＋c^2ab≧c^2a（a＋b－c）＋b^2c（a＋c－b）＋a^2b（b＋c－a）,
∴0≧c^2a（a－c）＋b^2c（c－b）＋a^2b（b－a）,
∴0≧c^2a^2－c^3a＋b^2c^2－b^3c＋a^2b^2－a^3b,
∴a^3b＋b^3c＋c^3a≧a^2b^2＋b^2c^2＋c^2a^2.
a^3b，^是什么意思呀