设a,b,c是三角形的三边,m>0,求证：[a/(a+m)]+[b/(b+m)]>[c/(c+m)]
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 00:59:17
设a,b,c是三角形的三边,m>0,求证：[a/(a+m)]+[b/(b+m)]>[c/(c+m)]
设a,b,c是三角形的三边,m>0,求证：
[a/(a+m)]+[b/(b+m)]>[c/(c+m)]
设a,b,c是三角形的三边,m>0,求证：[a/(a+m)]+[b/(b+m)]>[c/(c+m)]
方法1
a,b,c,且m为正数
所以(a+m） (b+m） (c+m)都是大于0
要证a/(a+m) +b/(b+m)>c/(c+m)
即要a(b+m)*(c+m)+b(a+m)*(c+m)>c(a+m)(b+m)
即abc+abm+acm+amm+abc+abm+bcm+bmm-abc-acm-bcm-cmm>0
即abm+amm+abc+abm+bmm-cmm>0
又因为a+b>c mm>0
所以amm+bmm>cmm
所以abm+amm+abc+abm+bmm-cmm>0
得证
方法2
a/(a+m)+b/(b+m)-c/(c+m)(相减通分)
=[a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)]/[(a+m)(b+m)(c+m)]
因为三角形ABC三边长是a ,b,c>0,且m为正数
所以分母[(a+m)(b+m)(c+m)]>0
又因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)
=abc+abm+acm+am^2+abc+bam+bcm+bm^2-abc-cam-cbm-cm^2
=abc+(abm+bam)+(am^2+bm^2-cm^2)
因为a+b>c(三角形两边之和大于第三边)
所以am^2+bm^2=(a+b)m^2>cm^2
所以(am^2+bm^2-cm^2)>0
abc+(abm+bam)>0
所以a/(a+m)+b/(b+m)>c/(c+m)
已知三角形ABC三边长是a,b,c,且m是正数，求证：a/(a+m)+b/(b+m)＞c/(c+m)
证明：
c/(c+m)-a/(a+m)
=m（c-a）/[ac+m(c+a)+m^2]
=（c-a）/(ac/m+c+a+m)
∵ c-ab+m
∴（c-a）/(ac/m+c+a+m)∴ a/(a+m)+b/(b+m)＞c/(c+m)
因为 (a+b)>c
易证 (a+b)/(a+b+m)>c/(c+m)
又a/(a+m)+b/(b+m)>a/(a+b+m)+b/(a+b+m)=(a+b)/(a+b+m)
所以有a/(a+m)+b/(b+m)>c/(c+m)