我们把(a+b)/2,√[(a^2+b^2)/2](a,b∈R+）分别叫做正数a,b的算术平均数和平方平均数,求证：两个正数的算术平均数不大于平方平均数已知：斜边为1的直角三角形,求该直角三角形内切圆半径的最大
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 04:29:53
我们把(a+b)/2,√[(a^2+b^2)/2](a,b∈R+）分别叫做正数a,b的算术平均数和平方平均数,求证：两个正数的算术平均数不大于平方平均数已知：斜边为1的直角三角形,求该直角三角形内切圆半径的最大
我们把(a+b)/2,√[(a^2+b^2)/2](a,b∈R+）分别叫做正数a,b的算术平均数和平方平均数,求证：两个正数的算术平均数不大于平方平均数
已知：斜边为1的直角三角形,求该直角三角形内切圆半径的最大值
我们把(a+b)/2,√[(a^2+b^2)/2](a,b∈R+）分别叫做正数a,b的算术平均数和平方平均数,求证：两个正数的算术平均数不大于平方平均数已知：斜边为1的直角三角形,求该直角三角形内切圆半径的最大
(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]等价于
[(a+b)/2]^2≤[(a^2+b^2)/2]等价于
(a+b)^2≤2a^2+2b^2等价于
2ab≤a^2+b^2等价于(a-b)^2≥0显然成立
设2个直角边x,y,则x^2+y^2=1,面积S=xy/2≤1/4,由内切圆的定义可知,
S=(x+y+1)r/2,所以xy=r(x+y+1),x+y≥根号2,所以r=xy/(1+x+y)≤
1/[4(1+根号2)]=(根号2-1)/4
1、要证 (a+b)/2<=√[(a^2+b^2)/2]
即证 (a+b)^2/4<=(a^2+b^2)/2
即证 a^2+2ab+b^2<=2a^2+2b^2
即证 a^2-2ab+b^2>=0
即证 (a-b)^2>=0
显然成立
则两个正数的算术平均数不大于平方平均数
2、设两直角边分别为a，b
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1、要证 (a+b)/2<=√[(a^2+b^2)/2]
即证 (a+b)^2/4<=(a^2+b^2)/2
即证 a^2+2ab+b^2<=2a^2+2b^2
即证 a^2-2ab+b^2>=0
即证 (a-b)^2>=0
显然成立
则两个正数的算术平均数不大于平方平均数
2、设两直角边分别为a，b
则a^2+b^2=1
设直角三角形内切圆半径r
由面积法得 (a+b+1)*r/2=ab/2
即r=ab/(a+b+1)<=ab/(2根号ab+1)=1/[(1/根号ab+1)^2-1]
因为1=a^2+b^2>=2ab所以ab<=1/2
则(1/根号ab+1)^2-1>=(根号2+1)^2-1=2+2根号2
所以最大半径r=1/(2+2根号2)=（根号2-1）/2
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