f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 22:52:08
f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n
f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n
f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n
令ak=[(n-k)/n]^n .k=n-1,...,3,2,1,0
--->ak = [1-k/n]^n = {(1+(-k)/n]^(n/-k)}^(-k)
--->n→∞时,lim(ak) = 1/e^k
--->n→∞时
lim[(1/n)^n+(2/n)^n+...+[(n-1)/n]^n+(n/n)^n]
=1+1/e+1/e²+...+1/e^k+...
=1/(1-1/e) = e/(e-1)
--->(1/n)^n+(2/n)^n+...+[(n-1)/n]^n+(n/n)^n＜e/(e-1)
广一模的题啦 为啥不看看答案呢？...
证明 引理（也就是原题第一问） 对于任意 x不为0 有1+x
而1/n=1-(n-1)/n 2/n=1-(n-2)/n ... (n-1)/n=1-1/n
故1/n
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广一模的题啦 为啥不看看答案呢？...
证明 引理（也就是原题第一问） 对于任意 x不为0 有1+x
而1/n=1-(n-1)/n 2/n=1-(n-2)/n ... (n-1)/n=1-1/n
故1/n
上式<1+(1/e)^(n-1)+(1/e)^(n-2)+....+(1/e)
=(1/e)^0+(1/e)^1+...+(1/e)^(n-1)
=[1-(1/e)^n]/(1-(1/e))
<1/(1-1/e)
=e/(e-1)
不等式得证
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