指数函数运算
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 10:20:53
指数函数运算
指数函数运算
指数函数运算
指数函数
[编辑本段]数学术语
指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R),从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况.
在函数y=a^x中可以看到：
（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,
同时a等于0函数无意义一般也不考虑.
（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合.
（3） 函数图形都是下凹的.
（4） a大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则为单调递减的.
（5） 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0）,函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置.其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置.
（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交.
（7） 函数总是通过（0,1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)
（8） 显然指数函数无界.
（9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数.
（10）当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性.
底数的平移：
对于任何一个有意义的指数函数：
在指数上加上一个数,图像会向左平移；减去一个数,图像会向右平移.
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移；减去一个数,图像会向下平移.
即“上加下减,左加右减”
底数与指数函数图像：
（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1,a)可知：在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大.
（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1,1/a）可知：在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小.
（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”.（如右图）
幂的大小比较：
比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小.
比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意：
（1）对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.
例如：y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大,对应的y值越大）,因为5大于4,所以y2大于y1.
（2）对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律来判断.
例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过（0,1）然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.
（3）对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较.如：
对于三个（或三个以上）的数的大小比较,则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组,再比较各组数的大小即可.
在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小）,就可以快速的得到答案.哪么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”.即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如：a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0）时,a^x大于1,异向时a^x小于1.
〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数?说明理由.
⑴y=4^x
因为4>1,所以y=4^x在R上是增函数；
⑵y=(1/4)^x
因为0
f（x）=a的x次方