初中圆平面图形的所有公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 02:04:21
初中圆平面图形的所有公式
初中圆平面图形的所有公式
初中圆平面图形的所有公式
我给别人出过讲义,没法发那么多图,你要是要就追问我,我现在只能把文字给你……爱莫能助 邮箱给我我可以把文件传给你
课堂笔记：
一、相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等
∵弦AB、CD交于点P
∴PA·PB=PC·PD
（各位同学需要留意当其中一弦为直径的情况）
二、弦切角定理：弦切角就是切线与圆中弦所夹的角,则弦切角等于该弦所对的圆周角.
若直线AC与圆O相切,AB为圆上一弦,P为优弧AB上任意一点,则∠BAC=∠P
三、切割线定理：若圆O外一点P,与圆的两条切线分别为PA、PD,则PA2=PB·PC（此中PA=PD,可能会有变式）
四、割线定理：若P为圆外一点,引两条射线与圆分别交于A、D,B、C,则有PA·PD=PB·PC
五、非直径垂直线定理：
若有两个弦（均非直径）ED、BA互相垂直,那么必有以下结论：
（1）a2+b2=c2+d2
（2）
（3）根据（2）同理可得：_______________=180°
（同学们需留意当弦AB、DE有某弦在直径时,此结论无论在任何位置都成立,在直径会更加特殊）
六、阿基米德折弦定理：
折弦定理内容：
如图,AD、DB均为圆O中的弦,那我们称AD、DB是圆O的折弦,若C是弧AB的中点,且CE⊥BD那么AD+DE=BE
（月考题啊……我们就这么被阿基米德虐了、、）
证明：
七、婆罗摩笈多定理：
（1）四边形中的婆罗摩笈多定理：（思想是旋转辅助线思想）
若四边形ABCD、AEFG均为正方形,连结BG、ED,那么：
若H为ED的中点,则：HA⊥GB于I,反之若HA⊥GB于I,则：H为ED的中点
（2）圆中的婆罗摩笈多定理：（思想是圆中的四条辅助线思想）
若圆中一内接四边形四边形,对角线互相垂直,则垂直于一边且过对角线交点的直线必平分对边.
（其实这是一个由特殊到一般的过程）
八、托勒密定理：
托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.
即：AD·BC+AB·CD=BD·AC（实际上此定理运用的思想是位似旋转）
托勒密定理的推论（从一般到特殊）,脱离圆的束缚,可得结论：任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号
九、蝴蝶定理：（曾是北京市2003年高考题）
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名.若将圆形压缩变形为椭圆,甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线,这时就出现了一个被压缩过的“畸形”蝴蝶,但定理仍然成立!（数学魅力真是大啊……）
蝴蝶定理(Butterfly theorem)出现过许多优美奇特的解法,其中最早的,应首推霍纳在职1815年所给出的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它给予出的是面积证法,其中应用了面积公式：S=1/2BC·sinA.
蝴蝶定理内容：
圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点.
证明：过圆心O作AD与BC的垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM,SM,MT.
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵AS=1/2AD,BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O,S,X,M四点共圆
同理,O,T,Y,M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY,∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ,
∵OM⊥PQ
∴XM=YM