求次数最低的多项式f(x),使其除以(x-1)^2的余式为2x,f(x)除以(x-2)^3余式为3x答案是4x^4-27x^3+66x^2-65x+24求这种类型题目的一般解法~
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 18:28:43
求次数最低的多项式f(x),使其除以(x-1)^2的余式为2x,f(x)除以(x-2)^3余式为3x答案是4x^4-27x^3+66x^2-65x+24求这种类型题目的一般解法~
求次数最低的多项式f(x),使其除以(x-1)^2的余式为2x,f(x)除以(x-2)^3余式为3x
答案是4x^4-27x^3+66x^2-65x+24求这种类型题目的一般解法~
求次数最低的多项式f(x),使其除以(x-1)^2的余式为2x,f(x)除以(x-2)^3余式为3x答案是4x^4-27x^3+66x^2-65x+24求这种类型题目的一般解法~
这种题好象计算量不小.
我想到一个做法,方法肯定对,不知是不是最简单的.
第一步在除以(x-2)^3余式为3x的多项式中找能被(x-1)^2整除的,
也就是找a(x),使得g(x)=a(x)(x-2)^3+3x除以(x-1)^2可以除尽
这个找法不难,因为g(x)能除尽(x-1)^2,因此g(1)=0,g'(1)=0,
由g(1)=0可得：-a(1)+3=0,则a(1)=3
g'(x)=a'(x)(x-2)^3+3a(x)(x-2)^2+3
由g'(1)=0可得：-a'(1)+3a(1)+3=0,将a(1)=3代入解得：a'(1)=12
因此满足条件的最低次多项式a(x)=3+12(x-1),即a(x)=12x-9
则g(x)=(12x-9)(x-2)^3+3x
（下面可自行验算(12x-9)(x-2)^3+3x除以(x-1)^2是可以除尽的,我验算过）
第二步：找h(x)=b(x)(x-1)^2+2x,使得h(x)除以(x-2)^3可以除尽,方法与上面差不多.
h'(x)=b'(x)(x-1)^2+2b(x)(x-1)+2
h''(x)=b''(x)(x-1)^2+4b'(x)(x-1)+2b(x)
由h(2)=0得：b(2)+4=0,则b(2)=-4
由h'(2)=0得：b'(2)+2b(2)+2=0,可得：b'(2)=6
由h''(2)=0得：b''(2)+4b'(2)+2b(2)=0,解得：b''(2)=-16
因此可设b(x)=-4+6(x-2)-8(x-2)^2即可（自行验证此时有b(2)=-4,b'(2)=6,b''(2)=-16）
整理后：b(x)=-8x^2+38x-48
因此满足条件的最低次多项式h(x)=(-8x^2+38x-48)(x-1)^2+2x
（自行验证h(x)除以(x-2)^3可以除尽）
第三步：g(x)+h(x)就是满足条件的多项式
原因是g(x)除以(x-1)^2可除尽,h(x)除以(x-1)^2余式是2x,因此g(x)+h(x)除以(x-1)^2余式也是2x；
g(x)除以(x-2)^3余式是3x,h(x)除以(x-2)^3可以除尽,因此g(x)+h(x)除以(x-2)^3余式也是3x.
最后就是计算较大的整理工作了：
g(x)+h(x)=(12x-9)(x-2)^3+3x+(-8x^2+38x-48)(x-1)^2+2x
=24-65x+66x^2-27x^3+4x^4
建议去看下 线性代数 中的 中国剩余定理
他的算没错，我有个办法可以使他的计算过程缩短三分之一！就是先对要求的a(x)变形！
具体做法如下：设r1(x),r2(x),我们要的找的多项式要满足，r1(x)(x-1)^2+2x=r2(x)(x-2)^3+3x，对其移项变形：r1(x)(x-1)^2=r2(x)(x-2)^3+x，然后参照第一步就可以一下子搞定了。结果验证过了，一样的。...
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他的算没错，我有个办法可以使他的计算过程缩短三分之一！就是先对要求的a(x)变形！
具体做法如下：设r1(x),r2(x),我们要的找的多项式要满足，r1(x)(x-1)^2+2x=r2(x)(x-2)^3+3x，对其移项变形：r1(x)(x-1)^2=r2(x)(x-2)^3+x，然后参照第一步就可以一下子搞定了。结果验证过了，一样的。
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