2006全国初中数学联赛D卷的一题在四边形ABCD中,∠ABC = ∠ADC = 90°,P是对角线AC、BD的交点,M、N分别是AB、CD上的点,满足DM上AC,BN上AC．求证：M、N、P三点共线．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 22:44:35
2006全国初中数学联赛D卷的一题在四边形ABCD中,∠ABC = ∠ADC = 90°,P是对角线AC、BD的交点,M、N分别是AB、CD上的点,满足DM上AC,BN上AC．求证：M、N、P三点共线．
2006全国初中数学联赛D卷的一题
在四边形ABCD中,∠ABC = ∠ADC = 90°,P是对角线AC、BD的交点,M、N分别是AB、CD上的点,满足DM上AC,BN上AC．求证：M、N、P三点共线．
2006全国初中数学联赛D卷的一题在四边形ABCD中,∠ABC = ∠ADC = 90°,P是对角线AC、BD的交点,M、N分别是AB、CD上的点,满足DM上AC,BN上AC．求证：M、N、P三点共线．
站个位子先,等会躺床上去做
设AC与DM、BN分别交于点E、F,连接DF
我们考虑用梅涅劳斯定理来证M、P、N三点共线,即要证明：(BN/FN) •(FP/PA) •(AM/BM)=1
注意到A、B、C、D点四共圆,以及MD‖BN
则有FP/PA=S(△BFD)/S(△ABD)= (BF•FD•sin∠BFD)/(AB•AD•sin∠BAD)
由于MD‖BN,即有∠BFD+∠EDF=180°,从而FP/PA=(BF/AB) •(FD•sin∠BFD)/(AD•sin∠BAD)=(sin∠BAC/ sin∠BAD)•EF/AD
又AM/BM=AE/EF
因此：(FP/PA) •(AM/BM)= (sin∠BAC/ sin∠BAD)•(AE/AD)= sin∠BAC•cos∠CAD/ sin∠BAD
现在即要证FN/BN= sin∠BAC•cos∠CAD/ sin∠BAD
此易证也：FN/BN= S(△CFN)/S(△CBN)=(CF•sin∠ACD)/( BC•sin∠BCN)
而CF/BC=cos∠BCF= sin∠BAC,sin∠ACD=cos∠CAD,sin∠BCN=sin∠BAD,故FN/BN=1/[(FP/PA) •(AM/BM)]
证毕.
应该还有非常简洁的方法,好像要用到直角三角形的内心,记不起来了.
连接MN交AC于P',DM,BN分别交AC于E,F
∵DM⊥AC,BN⊥AC
∴DM‖BN
∴△DEP∽△BFP,△MEP'∽△NFP',△CNF∽△CDE,△AME∽△ABF
∴EP/FP=DE/BF,EP'/FP'=EM/NF,
NF/DE=CF/CE,①
ME/BF=AE/AF, ②
∵△ADE∽△DCE
∴DE^2=A...
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连接MN交AC于P',DM,BN分别交AC于E,F
∵DM⊥AC,BN⊥AC
∴DM‖BN
∴△DEP∽△BFP,△MEP'∽△NFP',△CNF∽△CDE,△AME∽△ABF
∴EP/FP=DE/BF,EP'/FP'=EM/NF,
NF/DE=CF/CE,①
ME/BF=AE/AF, ②
∵△ADE∽△DCE
∴DE^2=AE*CE,与①相乘得:NF*DE=AE*CF
同理：ME*BF=AE*CF
∴ME*BF=NF*DE
即EM/NF=DE/BF
∵EP/FP=DE/BF,EP'/FP'=EM/NF
∴EP/FP=EP'/FP'
∴P,P'重合，即M、N、P三点共线。
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