求2000-2009年的全国初中数学联赛试题

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2001年全国初中数学联赛第一试
一、选择题（每小题7分,共42分）
1、a,b,c为有理数,且等式 a + b√2 + c√3 = √(5 + 2√6) 成立,则 2a + 999b + 1001c 的值是（ ）
（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）不能确定
2、若ab≠1,且有 5a2 + 2001a + 9 = 0及 9b2 + 2001b + 5 = 0,则 a/b 的值是（ ）
（A）9/5 （B）5/9 （C）-2001/5 （D）-2001/9
3、已知在△ABC中,∠ACB=900,∠ABC=150,BC=1,则AC的长为（ ）
（A）2 + √3 （B）2 - √3 （C）3/10 （D）√3 - √2
4、在△ABC中,D是边AC上的一点,下面四种情况中,△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ）
（A）AD·BC = AB·BD （B）AB2 = AD·AC （C）∠ABD = ∠ACB （D）AB·BC = AC·BD
5、①在实数范围内,一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根为 x = -b/2a ± √(b2-4ac)/2a；②在△ABC中,若 AC2 + BC2 ＞ AB2,则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和△A'B'C'中,a,b,c分别为△ABC的三边,分别为的三边,若a＞a',b＞b',c＞c',则△ABC的面积S大于△A'B'C'的面积S'.以上三个命题中,假命题的个数是（ ）
（A）0（B）1（C）2（D）3
6、某商场对顾客实行优惠,规定：①如一次购物不超过200元,则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品,则应付款是（ ）
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8
二、填空题（每小题7分,共28分）
1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0,1）,O为坐标原点,∠QPO=1500,且P到Q的距离为2,则Q的坐标为______.
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为 ______ .
3、已知x,y是正整数,并且xy+x+y=23 则x2+y2= ______ .（非原题）
4、一个正整数,若分别加上100和168,则可得到两个完全平方数,这个正整数为 _______ .

2008年全国初中数学联赛
2008年4月13日上午8：30—9：30
一、选择题：（本题满分42分,每小题7分）
1、设a 2 + 1 = 3 a,b 2 + 1 = 3 b,且a ≠ b,则代数式 + 的值为（ ）
（A）5 （B）7 （C）9 （D）11
2、如图,设AD,BE,CF为△ABC的三条高,若AB = 6,BC = 5,EF = 3,则线段BE的长为（ ）
（A） （B）4 （C） （D）
3、从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、在△ABC中,∠ABC = 12°,∠ACB = 132°,BM和CN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上,则（ ）
（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小关系不确定
5、现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10％或20％,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r,则r的最小值为（ ）
（A）( ) 3 （B）( ) 4 （C）( ) 5 （D）
6、已知实数x,y满足( x – ) ( y – ) = 2008,
则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）
（A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1
二、填空题：（本题满分28分,每小题7分）
1、设a = ,则 = .
2、如图,正方形ABCD的边长为1,M,N为BD所在直线上的两点,且AM = ,∠MAN = 135°,则四边形AMCN的面积为 .
3、已知二次函数y = x 2 + a x + b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n,且| m | + | n | ≤ 1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,q,则| p | + | q | = .
4、依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串：149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 .
答案： B、D、C、B、B、D；– 2、 、 、1.
2003年全国初中数学联赛
一、选择题（本题满分42分,每小题7分）
1. 2√(3-2√2) + √(17-12√2) 等于
A.5-4√2 B.4√2-1 C.5 D.1
2.在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是
A.0 B.1 C.3 D.5
3.若函数 y = kx (k＞0) 与函数 y = 1/x 的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于B,则△ABC的面积为
A.1 B.2 C.k D.k2
4.满足等式 x√y + y√x - √(2003x) - √(2003y) + √(2003xy) = 2003 的正整数对的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
5.设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且 AD/AB = 1/3．若在边AC上取一点E,使四边形DECB的面积为 3/4,则 CE/EA 的值为
A. 1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5
6.如图,在平行四边形ABCD中,过A,B,C三点的圆交AD于E,且与CD相切．若AB=4,BE=5,则DE的长为
A.3 B.4 C.15/4 D.16/5
二、填空题（本题满分28分,每小题7分）
1.抛物线 y = ax2 +bx +c 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形,则ac=__________．
2.设 m 是整数,且方程 3x2 + mx - 2 = 0 的两根都大于 -9/5 而小于 3/7,则 m = ____________．
3.如图 AA',BB',分别是∠EAB,∠DBC的平分线．若 AA' = BB' = AB,则∠BAC的度数为_____________．
4.已知正整数a,b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a,b中较大的数是_________．
2007年全国初中数学联赛
第一试
一、选择题(每小题7分,共42分)
1．已知 满足 则 的值为( )．
(A)1 (B) (C) (D)
2．当 分别取值 2,…,2006,2007时,计算代数式 的值,将所得的结果相加,其和等于( )．
(A)-1 (B)l (C)0 (D)2007
3．设 是 的三边长,二次函数 在 时取最小值 ．则△ABC是( )．
(A)等腰三角形 (B)锐角三角形
(C)钝角三角形 (D)直角三角形
4．已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径．则∠A的度数是( )．
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
5．设K是△ABC内任意一点,△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F．则S△DEF：S△ABC的值为( )．
(A) (B) (C) (D)
6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球．现从袋中摸出15个球,摸出的球中恰好有3个红球的概率是( )．
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(每小题7分,共28分)
1．设 , 是 的小数部分, 是 的小数部分．则 .
2．对于一切不小于2的自然数 ,关于 的一元二次方程 的两个根记作 ．则
= .
3．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB=2,BC=CD=10,AD=6,过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E,与CB的延长线交于点F．则BE-BF的值为 .
4．若 和 均为四位数,且均为完全平方数,则整数 的值为 .
第二试
A卷
一、(20分)设 为正整数,且 如果对一切实数 ,二次函数
的图像与 轴的两个交点间的距离不小于 ,求 的值．
二、(25分)如图l,四边形ABCD是梯形,点E是上底边AD上一点,CE的延长线与BA的延长线交于点F．过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M,BM与AD交于点N．证明：∠AFN=∠DME．
三、(25分)已知 是正整数．如果关于 的方程 的根都是整数,求 的值及方程的整数根．
B卷
一、(20分)设 为正整数,且 二次函数 的图像与 轴的两个交点间的距离为 ,二次函数 的图像与 轴的两个交点间的距离为 ．如果 对一切实数 恒成立,求 的值.
二、(25分)同A卷第二题．
三、(25分)设 是正整数,二次函数 反比例函数 ．如果两个函数的图像的交点都是整点(横、纵坐标都是整数的点),求 的值．
C卷
一、(20分)同B卷第一题．
二、(25分)同A卷第二题．
三、(25分)设 是正整数．如果二次函数 和反比例函数 的图像有公共整点(横、纵坐标都是整数的点),求 的值和对应的公共整点．
2006年全国初中数学联赛
第一试
一、选择题(每小题7分,共42分)
1．已知四边形ABCD为任意凸四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、p1,分别表示四边形EFGH的面积和周长．设 ．则下面关于 的说法中,正确的是( )．
(A) 均为常值 (B) 为常值, 不为常值
(C) 不为常值, 为常值 (D) 均不为常值
2．已知 为实数,且 是关于 的方程 的两根．则 的值为( )．
(A) (B) (C) (D)1
3．关于 的方程 仅有两个不同的实根．则实数 的取值范围是( )．
(A)a＞0 (B)a≥4 (C)2＜a＜4 (D)0＜a＜4
4．设 则实数 的大小关系是( )．
(A) (B) (C) (D)
5． 为有理数,且满足等式 ,则 的值为( )．
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20,40,60,80,100,104,…．则这列数中的第158个数为( )．
(A)2000 (B)2004 (C)2008 (D)2012
二、填空题(每小题7分,共28分)
1．函数 的图像与 轴交点的横坐标之和等于 ．
2．在等腰 中,AC=BC=1,M是BC的中点,CE⊥AM于点E,交AB于点F,则S△MBF= .
3．使 取最小值的实数 的值为 ．
4．在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)、A(100,0)、B(100,100)、C(0,100)．若正方形0ABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足 .
就称格点P为“好点”．则正方形OABC内部好点的个数为 ．
注：所谓格点,是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．
第二试
A卷
一、(20分)已知关于 的一元二次方程 无相异两实根．则满足条件的有序正整数组 有多少组?
二、(25分)如图l,D为等腰△ABC底边BC的中点,E、F分别为AC及其延长线上的点．已知∠EDF=90°．ED=DF=1,AD=5．求线段BC的长．

三、(25分)如图2,在平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．求证：
(1)O、E、O1三点共线；
(2)
B卷
一、(20分)同A卷第一题．
二、(25分)同A卷第二题．
三、(25分)如图2,在平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．
(1)求证：O、E、01三点共线；
(2)若 求 的度数．
C卷
一、(20分)同A卷第二题．
二、(25分)同B卷第三题．
三、(25分)设 为正整数,且 ．在平面直角坐标系中,点 和点 的连线段通过 个格点 ．证明：
(1)若 为质数,则在原点O(0,0)与点 的连线段 上除端点外无其他格点；
(2)若在原点O(0,0)与点 的连线段 上除端点外无其他格点,则p为质数．